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    线性代数答案【引入Matlab提高经济类线性代数应用能力】

    时间:2020-02-29 07:36:24 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      摘要:文章针对线性代数教学中出现的计算冗繁、概念抽象现象,提出将Matlab软件工具引入教学,以提高学生解决实际问题的能力,并举例说明Matlab在经济模型及图形直观化上的作用。
      关键词:线性代数;Matlab;应用
      中图分类号:F011 文献标识码:ADOI:10.3969/j.issn.1672-0407.2011.11.002
      文章编号:1672-0407(2011)11-008-03收稿日期:2011-10-9
      
      一、前言
      线性代数是现代经济学的数学基础,但经济学和数学两学科课程侧重点有所不同,使得线性代数这门原本应用性很强的学科变成了一门枯燥费解的课程,计算机械枯燥,理论实践脱节。实际上,经济类学生重在应用,故线性代数的讲授除了严谨的理论推理,还需要教给学生利用有力工具解决实际问题。Matlab具有丰富的经济计算函数,能轻松解决利用线性代数知识解决的许多实际经济问题,特别适合引入课程教学,以提高学生的计算应用能力。
      目前Matlab在教学中主要用以求解微积分问题,其在仿真绘图上具有优势及计算能力体现较少,经济类学生重点需掌握的应用实例涉及更少,本文举例说明Matlab在实际应用模型上的作用。
      二、Matlab在经济类线性代数教学中的应用模型举例
      以下给出Matlab在经济类线性代数教学中的一个计算图示和两个经济应用实例,以期说明它在计算和图形功能的帮助下计算的快捷准确。
      (一) 在投入产出数学模型上的应用
      由经济学家Wassily Leontief首先提出的投入产出模型是研究生产部门和消费部门之间相互关系的一种重要方法,是现在世界各国广泛使用的模型。经济类学生常常遇到的这类模型,涉及的矩阵数字复杂,阶数较大,以往的教学是指导学生将矩阵化为简化的阶梯形矩阵解决,计算机械繁琐,正确率和效率都较低,无法应对实际需求。其实这种数值计算过程十分有规则性,最易由计算机执行完成,此时指导学生使用Matlab,只需简单的程序即可快速准确求解。
      Leontief投入产出模型或生产方程:x=cx+d,x是总产出向量,c是直接消耗系数矩阵,cx是中间需求向量,d是最终需求向量。记xi部门的总产量,xij=部门j的生产过程中消耗部门i的产品数量,di=部门i的最终产出(i,j=1,2,…n)。若某时期直接消耗系数矩阵较长时间保持不变,确定未来一年的最终需求,则可预测未来一年各部门的总产出,对将来的经济发展进行预测和分析。
      下表是某地区根据某年的统计资料制定的投入产出表(单位:百万元)。
      计算直接消耗系数aij=,得直接消耗系数矩阵c=0.14250.01470.00080.30200.36880.10320.12140.09640.0861。如果确定未来一年的最终产品产量d=(1300,17500,15000)T由x=Cx+d,有x=(E-C)-1d,即可解出未来一年各部门的总产出,进行经济预测。下面用Matlab编程将计算过程简化 :
      >> C=[0.1425 0.0147 0.0008; 0.3020 0.3688 0.1032;0.1214 0.0964 0.0861];d=[1300;17500;15000];
      >> E=eye(size(C));
      >> x=(E-C)\d
      运行结果为:x = 2082.5832001.82 20065.97
      故为满足未来一年的最终需求,农业、工业及其他部门总产出应分别为2082.58,32001.82,20065.97。其实常说的某需求可拉动国民经济增长多少百分比,即是从这样的模型得出。另外利用这一预测还可进一步用Matlab编程求得未来一年各部门间的流量和初始投入,这里不再赘述。
      (二)在多项式拟合图形上的应用
      经济变量之间关系的确定,常常需要从一组样本观测数据中找到自变量与因变量之间的关系,再用一个近似函数来表示,在数学上,近似函数的产生可用拟合的方法。多项式曲线拟合是对给定的试验数据点(xi,yi(i=1,2…n))构造m次多项式p(x)=a0+a1x+…+amxm,使得[ajxij-yi]2取得极小值,即计算线性方程组的解:
      
      
      这样的方程组单纯纸笔解出很困难,进一步用图形显示拟合效果更不易,但借助 Matlab的polyfit函数就可轻易做出不同次数的拟合图形。以下以样本为16个时点上测得的数据为例图示说明。
      >>x=0:0.1:1.5;y=[-0.44,1.89,3.28,6.56,7.18,7.56,7.88,
      9.64,9.30,11.21,11.34,11.87,12.04,11.56,11.88,13.31]; xi=linspace(0,1.5);
      三次拟合:>>a3=polyfit(x,y,3); yi3=polyval(a3,xi);plot(x,y,"*",xi,yi3,"r")
      六次拟合:>>a6=polyfit(x,y,6); yi6=polyval(a6,xi);plot(x,y,"*",xi,yi6,"r")
      九次拟合:>>a9=polyfit(x,y,9); yi9=polyval(a9,xi);plot(x,y,"*",xi,yi9,"r")
      图1 不同拟合次数产生的不同曲线
      若要再进行更高次拟合,只需更改变量中的次数。显然,这样的计算函数及图形函数简单而直观,易于学生学习和使用。
      (三)在马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型上的应用
      马柯维茨根据每一种证券的预期收益率、方差和所有证券间的协方差矩阵,得到证券组合的有效边界,再根据投资者的效用无差异曲线,确定最佳投资组合,以达到在保证预定收益率的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大。经典的马柯维茨均值-方差模型为:
      
      其中,R=(R1,R2,…,Rn)T;Ri=E(ri)是第i种资产的预期收益率;X=(x1,x2,…,xn)T;=(σij)nxn是投资组合的权重向量;是n种资产间的协方差矩阵;Ri=E(rp),σ2p分别是投资组合的期望回报率和方差。此模型在计算收益和方差时很精确,但投资组合中所含证券数量越多,计算量越大,利用Matlab里的“portstats”函数可计算投资组合的风险和收益,“frontcon”函数可计算投资组合的有效前沿。上表是三支股票的资产数据,若各个资产上限为50%,通过“frontcon”函数来计算有效前沿。
      >> ExpReturn=[0.000540 0.000275 0.000236];
      >> ExpCovariance=[5.27 2.80 1.74;2.80 4.26 1.67;1.74 1.67 2.90]; NumPorts=3;
      >> AssetBounds=[0,0,0;0.5,0.5,0.5];
      >>[PortRisk,PortReturn,PortWts]=frontcon(ExpReturn,
      ExpCovariance,NumPorts,[ ],AssetBounds)
      PortRisk =1.5818 1.6299 1.9449
      PortReturn =1.0e-003 *0.3024 0.3549 0.4075
      PortWts =0.17680.32320.5000
      0.37490.12710.4980
      0.50000.50000.0000
      可见当这三种资产的权重分别是0.1768、0.3232、0.5时,资产组合的标准差分别为1.5818,资产组合的预期收益是3.024 e-004,图2表示了各个组合的风险与收益。
      从以上实例可见,Matlab的计算工具能帮助经济类学生从繁杂的计算中解脱出来,更易于学生解决实际问题,图形工具能帮助学生更直观计算效果。实际上,美国在20世纪90年代已经开始将Matlab引入线性代数的各章教学,提供计算机演示和验证,并在课后布置相应的Matlab上机习题,使Matlab成为学生必须掌握的软件工具,从中也足见Matlab在线性代数教学中的重要性与必要性。
      三结语
      线性代数从实践中发展而来,其理论和实践的应用应互相融合,尤其对应用性要求较高的经济类学生,在教学中更应遵循这一规律。我们可从国内外高校考察学习线性代数渐成规模的成功教学方法,如方文博教授主持的线性代数智能在线测试系统和美国的ATLAST计划。在教学中开设适当课时的“Matlab实践课”,介绍入门知识及简单应用,达到提高学生兴趣和理论应用能力的目的。
      

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