一个不等式,,七种解法,,三类变式:一元二次不等式解法
时间：2020-02-23 07:35:08 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
如果说探索一道题目的多种解法的目的在于开拓思路，训练思维，发展思维的广阔性，那么对问题的变式探究，则有利于培养我们的探究能力和创新意识．选择基础性强，解题方法典型，又能一题多解、一题多变的题目，从不同角度思考问题，进行多解探索，获取不同的解法，进行变式探究，使问题得以拓展延伸，从而使看似平淡的问题获得较好的学习效果．
若不等式+≤a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的取值范围为_______．
解法一 因为x，y>0，所以已知不等式可变为a≥． 又a>0，所以a2≥，而x+y≥2，所以≤=2，当且仅当x=y时取等号，故a2≥2，所以a≥，即实数a的取值范围为［，+∞）．
解法二 由已知不等式+≤a?圳a≥=对任意正实数x，y恒成立，得a≥max=，当y=x时，实数a取最小值，故实数a的取值范围为［，+∞）．
解法三 因为y>0，所以已知不等式可化为+1≤a．设=tanθ，θ∈0，，则tanθ+1≤a，即tanθ+1≤，所以a≥sinθ+cosθ=sinθ+． 又sinθ+的最大值为1（此时θ=），所以a≥，即实数a的取值范围为［，+∞）．
解法四 因为x，y>0，所以已知不等式可变为a≥． 设u==+，而，∈（0，1），且+=1，所以可设=sinα，=cosα，α∈0，，则u=sinα+cosα=•sinα+≤（当α=时取等号），所以a≥，即实数a的取值范围为［，+∞）．
解法五 因为x，y>0，所以已知不等式可变为a≥． 设u=，向量m=（，），n=（1，1），由m•n=m•ncosθ≤m•n，得+≤•，当m与n同向时取等号，u=≤，所以a≥，即实数a的取值范围为［，+∞）．
解法六 因u=，令=t（t>0），则u2=g（ｔ）==，g′（ｔ）=． 由于t>0，因此，函数g（ｔ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（t）max=g（1）=2，即u2≤2，所以u≤，所以a≥，即实数a的取值范围为［，+∞）．
解法七 因u=，设=p，=q（p>0，q>0），则u=，可以看成定点P（1，1）到动直线l：px+qy=0（p>0，q>0）的距离，由几何性质可知定点P到动直线l的距离的最大值就是点P到原点的距离，即为，（如图1），所以u≤，所以a≥，即实数a的取值范围为［，+∞）．
变式一 若不等式+≤a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的取值范围为______．
解 因为x，y>0，所以已知不等式可变为a≥． 又a>0，所以a2≥，因x，y是任意正实数，所以2=2≤λx+（其中λ为正常数），故≤=． 现只要下列等式对任意正实数x，y都成立，（1+λ）•x+1+y=k（2x+y），所以1+λ=21+，即λ=2，所以k=，故a2≥，即a≥，所以实数a的取值范围为，+∞．
变式二 若不等式+≤a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的取值范围为______．
同变式一的解法可以求得a≥==，所以实数a的取值范围为，+∞．
变式三 （推广）?摇若不等式+≤a（其中m，n为正常数）对任意正实数x，y恒成立，则实数a的取值范围为________．
解 同变式一，即a2≥，因2=2≤λx+（其中λ为正常数），故≤=，现只要n（1+λ）=m1+，即（nλ－m）（λ+1）=0． 因为λ>0，所以λ=，所以≤，所以a2≥，即a≥，所以实数a的取值范围为，+∞．
解决一个问题不能仅满足于得到结论，要善于对问题进行解法探究、变式探究，要注重一题多解、一题多变，要注重解题反思，要充分挖掘问题的本质、揭示问题的精髓． 我们以典型试题为载体研究解题，不仅仅是为了考试多得分、得高分，在我们看来，包括解题反思在内的数学解题是数学学习中不可或缺的核心内容，数学解题的思维实质是发生数学，而不仅仅是“规则的简单重复”或“操作的生硬执行”，应该是数学学习中不可替代的实质活动. 解题活动的核心价值是掌握数学，它是一种最贴近数学思维的实质性活动，是掌握数学、学会“数学式思维”的关键途径．
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