高考必考题 [一道高考题的多种解法]
时间：2020-02-23 07:31:24 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
2011年江苏高考数学卷第18题共3小题，其中第（1）（2）两小问难度不大，第（3）小问是证明题，将考生的答案罗列出来，有12种居多.现列举四种较为典型的解法如下.�
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x�24+y�22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k�
对任意k>0，求证：PA⊥PB�
解法一 利用求根公式求出点B坐标，再代入斜率公式求斜率.�
将直线PA的方程y=kx代入x�24+y�22=1,解得x=±21+2k�2.记μ=21+2k�2,则P(μ,μk),A(-μ,-μk).于是C(μ,0).故直线AB的斜率为0+μkμ+u=k2,其方程为y=k2(x-μ),代入椭圆方程得(2+k�2)x�2-2μk�2x-μ�2(3k�2+2)=0,解得x=μ(3k�2+2)2+k�2或x=-μ.因此Bμ(3k�2+2)2+k�2,μk�32+k�2.于是直线PB的斜率k�1=μk�32+k�2-μkμ(3k�2+2)2+k�2-μ=-1k.因此k�1k=-1,所以PA⊥PB.�
解法二 几何法�
设P(m,km),A(-m,-km),C(m,0)�
直线AC的方程为:y=k2(x-m),代入椭圆方程x�24+y�22=1,得�
1+k�22x�2-(k�2m)x+k�2m�22-4=0�
设AB的中点Q，则2x�Q=x�A+x�B=k�2m1+k�22=2k�2m2+k�2,所以x�Q=k�2m2+k�2,y�Q=-km2+k�2�
所以PQ�2=k�2m2+k�2-m�2+-km2+k�2-km�2=(k�6+6k�4+9k�2+4)m�2(2+k�2)�2�
AQ�2=k�2m2+k�2+m�2+-km2+k�2+km�2=(k�6+6k�4+9k�2+4)m�2(2+k�2)�2�
所以PQ=AQ,所以PA⊥PB.�
解法三 见到中点和斜率用点差法构造斜率形式.�
设P(m,n),B(s,t),则A(-m,-n),C(m,0).�
k��AC�=0-(-n)m-(-m)=n2m=k2,由A，C，B三点共线知k��AB�=t-(-n)s-(-m)=n+tm+s=k2.�
由题意P,B两点都在椭圆上，可得�
m�24+n�22=1……(1)�
s�24+t�22=1……(2)�
(1)-(2):(m+s)(m-s)4+(n+t)(n-t)2=0，即n+tm+s•n-tm-s=-12,�
所以k��PB�=n-tm-s=-1k,所以PA⊥PB.�
解法四 轨迹法�
设P(m,n),则A(-m,-n),C(m,0).�
则直线AC的方程为：y+n=n2m(x+m)……(1)�
过点P且与AP垂直的直线方程为：y-n=-mn(x-m)……(2)�
(1)×(2):y�2-n�2=-12(x�2-m�2)�
整理得x�24+y�22=m�24+n�22,由点P在椭圆上有m�24+n�22=1,�
所以x�24+y�22=1，即（1）（2）两直线交点在椭圆上，得证.
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