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    依p次方收敛和依概率收敛等价 依概率收敛的几个等价命题及其应用

    时间:2019-02-10 03:16:50 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      摘 要: 依概率收敛在整个概率论和数理统计中占有十分重要的地位,应用也及其广泛,本文给出了三个依概率收敛的等价命题和严格的数学证明过程,使依概率收敛更加完整和严密。文章最后给出了一个具体的应用实例,验证了依概率收敛的几个等价命题可以起到简化问题的作用。
      关键词: 依概率收敛 可测函数 数学期望
      
      1.引言
      依概率收敛广泛的应用于各个领域,如大数定律和中心极限定理,可以说它是整个统计学的基本工具之一。但依概率收敛在函数期望的求法中应用极少,特别是极大值、极小值的期望。本文给出了依概率收敛在此方面的应用,与传统求期望的方法相比,我们可以用此很简单地计算期望值。本文同时给出了依概率收敛的三个等价命题,并用测度论的知识严格的证明了其正确性,使依概率收敛的性质更加完整和严密。为使结构更加完整,在文章的最后给出了具体的应用实例。本文具体安排如下:第二部分给出了下文将要用到的几个引理和定理;在第三部分阐述了本文的主要结果;文章的最后给出了应用实例。
      2.定义与引理
      定义1[2]:设(Ω,X,P)是一个概率空间,{X}是取自样本空间(Ω,X,P)的n个样本。如果对?坌ε>0,有:P{|X-X|>ε}=0,则我们称X依概率收敛到X,记为:XX(n→∞)。
      引理1[3]:假定g(x)是一个非零的Borel可测函数,满足Eg(x)c)=0},
      则对?坌ε>0,有:≤P(|x|≥ε)≤。
      定理1[3]:(有界收敛定理)假定XX(n→∞),且存在一个常数b,使得P(|X|≤b)=1,则E[X]=E[X]。
      证明:设{x}是实数集,满足F在每一个i都连续,则有下式成立:
      xP{x0,则E[X]≥E[X]≥E[X∧M]→E[X∧M]。
      右边的收敛是依据有界收敛定理而得。
      由此就有E[X∧M]≤infE[X]≤supE[X]≤E[X],
      由引理2,问题得证。
      3.三个等价定理及其证明
      定理3:XX(n→∞),当且仅当E=0。
      定理4:XX(n→∞),当且仅当E|X-X|∧C=0,这里C是任意实数。
      定理5:E|X-X|∧C=0,当且仅当E=0,这里C是任意实数。
      定理3的证明:令g(x)=,则a.s.supg(x)=a.s.sup。
      由引理1:
      E-≤P(|X|≥ε)≤E(1)
      则对任意ε,如果令r=1,X=X-X,由(1)可得:
      E→0和XX(n→∞)是等价的。证毕。
      定理5的证明:如果左边式子成立,
      则当C=1时,
      E≤E[|X-X|∧1]→0(2)
      当C≠1,并假定它是一个有限的实常数,则:
      E[|X-X|∧C]=CE[|X-X|∧1]→0。
      因此,E[|X-X|∧1]→0。由(2),则右边成立。
      当C→∞时,由引理2,E[|X-X|∧C]=E[|X-X|],
      则由单调收敛定理,E[|X-X|]→E(ε)→0。
      由以上的证明过程可得,当定理5左边成立时,对取遍所有的实数C,定理5右侧仍然成立。下面假定定理5右边成立,即:E=0。也就是说,→0,a.s.;而且,|X-X|→0,a.s.,因此|X-X|∧C→0,a.s.则由E|X|=0和|X|=0,a.s.的等价性可得下式成立E[|X-X|∧C]=0,a.s.,即E|X-X|∧C=0。
      由传递性,可得定理4成立。
      4.应用
      上述定理在期望与依概率收敛之间架起了一座桥梁。由以上定理,我们可以很轻松地计算平时很难处理的问题。这里我们就举一个例子来说明定理的应用。
      引理3:(Khinchine theorem)假定随机变量X,X,L,X,L相互独立同分布,且有E(X)=μ(k=1,2,L),则?坌ε>0,都有下式成立:P{|-μ|>ε}=0,i.e.μ。
      例:假定随机变量X,X,L,X,L(n→∞)相互独立同分布于泊松分布π(λ),则E(X)=λ(k=1,2,L),由Khinchine theorem,则:
      =Xλ。
      再由定理4,|-λ|∧C=0。
      这里C是任意实常数,且有=0。
      
      参考文献:
      [1]陈希孺.数理统计引论[M].北京:科学出版社,1982.
      [2]严士健等.概率论基础[M].北京:科学出版社,1982.
      [3]陆传荣,林正炎等.概率论极限理论引论[M].北京:高等教育出版社,2001.
      [4]Thomas G..Kurtz.Lectures on Stochastic Analysis.Departments of Mathematics and Statistics University of Wisconsin-Madison.
      [5]李裕奇等.概率论与数理统计(上).北京:国防工业出版社,2001.
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