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    构造法在中学数学中的一些应用|数学构造法

    时间:2020-03-31 07:33:54 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1008-925X(2011)11-0202-02         应用构造法解决问题,就是以已知条件为先导,以相关的知识为辅助,以所求的结论为方向,通过细致的分析,丰富的联想,灵巧的构思,创造性地构造出一种新的数学形式,使所要求的问题,在这种模式下,得以轻而易举的解决。�   构造法是数学中常用的一种方法,它包括构造图形、函数、三角、复数、方程、向量、数列、算法、基本不等式等等,在此仅举几个实例,浅析其思想方法。�   1 构造图形�   例1 椭圆x�29+y�24=1的焦点为F�1、F�2,点p为其上的动点,当∠F�1PF�2为钝角时,求点P的横坐标的取值范围。 �            分析:本题考察的知识点较多,综合性较强,解题方法也较多(不下六种),我们可以结合图形,联想到初中学过的直径上的圆周角等于直角这个事实,结合本题中的条件,使问题得以简化。�   解:构造圆,以F�1F�2为直径作圆,交椭圆于P�1、P�2、P�3、P�4,由平面几何知识知,当P运动到P�1、P�2、P�3、P�4这四个中任何一处时,   ∠F�1PF�2=90°,而运动到P�1、P�2或P�3、P�4之间时,∠F�1PF�2为钝角,则圆与椭圆的四个交点为临界点,故可设|F�1P�1|=r�1,|F�2P�1|=r�2,由勾股定理及椭圆的第一定义,得:r�1+r�2=6�r�1�2+r�2�2=(25)�2 解得:r�1r�2=8.设交点坐标为P�1(x�1,y�1),则有:   y�1=r�1r�2|F�1F�2|=825=45,进而求得x�1=35,由对称性知,P点横坐标取值范围应是�-355  2 构造函数�   例2 已知|a|  解:原命题等价于-1  例3 求证|a+b|1+|a+b|�|a|1+|a|+|b|1+|b|.�   分析:观察左右两端各项中结构形式一样,可构造函数f(x)=x1+x,x∈[0,+∞),则f(x)=1-11+x,在[0,+∞)上单调递增,令x�1=|a+b|,x�2=|a|+|b|显然x�1、x�2∈[0,+∞),x�1�x�2所以   f(x�1)�f(x�2),|a+b|1+|a+b|�|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|�|a|1+|a|+|b|1+|b|. ∴原不等式成立。�   3 构造向量�   有关向量知识是新课程里新添的内容,应用向量知识处理问题有时显得更加快捷。�   例4 (见例1)�   解:设动点P(x,y),由题意求得焦点坐标F�1(-5,0)、�F�2(5,0),�由向量的运算知,�F�1P��=(x+5,y)、�F�2P��=(x-5,y),因为   π2  �FP��・�FP��   |�F�1P��|・|�F�2P��|  4 构造恒等式�   例5 已知f(x)=x�2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12。 �   分析:只须证明|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中的最大者不小于12,即 MM=max{|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|}�12。�   证明:构造恒等式:f(x)=x�2+px+q=(x-2)(x-3)(1-2)(1-3)f(1)+(x-1)(x-3)(2-1)(2-3)f(2)+(x-1)(x-2)(3-1)(3-2)f(3)。比较x�2项的系数,有1=12f(1)-f(2)+12f(3)�12|f(1)|+|f(2)|+12|f(3)|�(   12+1+12)M=2M。�   得:M=max{|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|}�12。�   6 构造三角函数�    例6(见例6)�    证明:由a�1+b�2=1,x�2+y�2=1,可设a=cosα,b=sinα,x=cosβ,y=sinβ,则|ax+by|=|cosαcosβ+sinαsinβ|=|cos(α-β)|�1,∴-1�ax+by�1�   评析:在不等式证明的一章里,很常见的一种方法就是三角换元方法,利用圆的参数方程,将代数的转化为三角的,再利用三角函数的有界性,问题就得以解决。 �   7 构造复数 �   例7 已知x、y∈R,且x�2+y�2=1,求证:对任意的a、b∈R,都有a�2x�2+b�2y�2+a�2y�2+b�2x�2�a+b。�   分析:观察左边两项都是两数平方和再开方,这与求复数模公式如出一辙,故可将ax、by与ay、bx分别作为两个复数的实部、虚部。�   证明:令z�1=ax+byi,z�2=bx+ayi,则左边=|z�1|+|z�2|�|z�1+z�2|=|(ax+bx)+(ay+by)i|=(ax+bx)�2+(ay+by)�2=   (a+b)�2x�2+(a+b)�2y�2=(a+b)�2(x�2+y�2)=(a+b)�2=�|a+b|��a+b=右边,所以原不等式成立。 �   例8 对于x∈R,试求函数y=x�2+x+1-x�2-x+1 的值域�   解:将原函数变形为 �   y=(x+12)�2+(32)�2-(X-12)�2+(32)�2�   由此构造复数z�1=(x+12)+32i,z�2=(x-12)+32i�   又因为||z�1|-|z�2||�|z�1-z�2|当z�1=kz�2(k>0)时取等号,所以|x�2+x+1-x�2-x+1|  所以函数的值域为{y|-1  总而言之,构造法作为数学中一种常用的方法,在教学实践中要不断的渗透、强化这种思想,使学生在构造实践中做到视野更开阔、思维更活跃、想象更丰富;使学生分析问题和解决问题的能力得以进一步提高,并在遇到问题时,能用创造性的、大胆的构想加以解决,除以上几种构造方法,还可构造数列、基本不等式、方程等等,凡此种种,不一而足,限于篇幅,仅举数例加以浅析。 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文

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