[浅谈考研数学中求极限问题的解法]求极限lim的典型例题

时间：2020-03-02 07:38:35　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：本文就近几年考研数学中出现的求极限问题总结出几类题型并给出解法，总结了考研数学中常用的定义、定理和公式以及解题技巧，希望对广大考生能有帮助。　　关键词：极限；等价无穷小；考研数学
　　
　　在每年的考研大纲中，总会有对求极限问题的要求，纵观近十年的考题，求极限问题可以说几乎在每年的考试中都会以不同的形式出现，这类问题小巧、占总分的比重也不多，很容易被大部分同学忽视，其实这样的分数应该是我们必须也一定能拿到的。我相信任何一名讲授高等数学的老师在讲课时都会一再强调等价无穷小的重要性，会一再让同学们演练罗比达法则，也会强调求极限中的两个重要极限（■■=1，■（1+x）■=e）以及它们的变化形式。据笔者统计，近十年考研数学中的求极限问题可以分成以下题型。
　　1.使用等价无穷小和罗比达法则的问题
　　可以说等价无穷小+罗比达法则=考研数学求极限的法宝.如果能把等价无穷小和罗比达法则结合起来，那么大部分求极限问题即可迎刃而解，不妨举几个例题详细分析一下
　　例1 （2009年数一，1）当x→0时，?摇f（x）=x-sinax与g（x）=x2ln（1-bx）等价无穷小，则（）
　　（A）a=1，b=-■ （B）?摇a=1，b=■
　　（C）a=-1，b=-■?摇?摇（D）a=-1，b=■ 答案A
　　解：?摇f（x）=x-sinax与g（x）=x2ln（1-bx）等价无穷小，则有■■=■■=■■ ■■
　　 ■■ ■■=-■=1，
　　∴a3=-6b，故排除B，C
　　另外，■■存在，说明了当x→0时，
　　1-acosax→0，所以a=1，所以本题选A。
　　例2 （2007数一1）当x→0+时，与■等价的无穷小量是?摇?摇?摇（?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇）
　　A.?摇1-e■ B.ln■
　　 C.?摇?摇■-1 D.1-cos■
　　由于本题考查的是等价无穷小，根据定义，只需要将两个无穷小进行商运算就可以，所以我们将四个选项中的变量直接进行等价无穷小替换，替换结果如下：
　　A.-■?摇 B.ln■?摇 C.■■?摇 D.■x?摇?摇?摇
　　如果ACD这三项能替换出来即可用排除法选出正确答案B，下面我们验证一下该选项，
　　 ■■令t=■■■罗比达■ln■・■=1.
　　例3 （2008数一，15）求极限■■
　　解一：■■=■■=■■=■■=■■=■■=■
　　本解法最后一次使用罗比达法则时也可以使用等价无穷小替换，
　　?摇?摇■■=?摇■■=■
　　另外本题使用变量替换也很简单
　　解二：■■=■■ = ■■=■■=■
　　此外本题的第三种解法也比较有新意
　　解三：■■=■■=■■=■■cos［x+?兹sinx］=■■=■，（0＜?兹＜1）
　　第三种解法中使用了微分中值定理。而它的第四种解法是大部分学生不愿意使用却也比较有效的方法：泰勒展开式。
　　解四：?摇sinx=x-■x3+O（x3），sin（sinx）=sinx-■
　　sin3x+O（sin3x）
　　∴■■=■［■+■］=■
　　例4 （2006数一1）■?摇■，
　　例5 （1999数一1）■（■-■）?摇?摇，这两道题直接用等价无穷小代换就能得出正确的结论，在此就不再一样赘述了。这几个例题出现在不同的年份，但是除了系数不同和题型不同之外，解法几乎是完全一样的。由此可见在求极限中等价无穷小和罗比达法则的重要性。
　　2.利用■（1+x）■=e求解的极限问题
　　例5 （2003数一1）■（cosx）■
　　本题能判断出这是1∞型的极限，所以我们考虑使用重要极限中的■（1+（ux））■，将原式中的cosx改写成1+（cosx-1）?摇那么，原式=■［1+（cosx-1）］■=■（cosx-1）■=■■=-■同样最后也使用了等价无穷小的代换。与之类似的是2010年的一道选择题
　　例6 （2010数一1）■［■］x=（?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇）
　　A.1?摇?摇B.e?摇?摇C.ea-b?摇?摇D.eb-a?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇
　　解：原式=■［■］x=■［1+■］x=ea-b.
　　因此答案为C.还有今年考研的一道计算题。
　　例7 （2011数一15）求极限■（■）■
　　解：原式=■（■）■=■（1+■）■=e■=e■=e■=e■
　　这样的解法提示我们，在求极限之前一定要看好给出的表达式是什么类型的，选择正确的方法能起到事半功倍的效果。
　　3.其他问题。还有些问题虽然没有直接让我们求极限，但是在求解过程中就是求极限问题的应用。比方说下面的例题。
　　例9（2005数一1）曲线y=■的斜渐近线方程为?摇?摇 .
　　解：求解斜渐近线其实就是在求两个参数，即直线方程中的斜率k和截距b，其中k=■■=■■=■，?摇b=■f（x）-kx=■■-■x=■■=-■
　　所以直线方程为?摇y=■-■.
　　综上所述，在备考研究生入学考试时复习数学的时候，对求极限问题重点应该放在两个重要极限、等价无穷小和罗比达法则上，可以说掌握了这三个基本知识点并能灵活运用，那么在考研数学中，求极限问题必然能够正确且迅速的解决。
　　参考文献：
　　[1]同济大学数学系.高等数学（同济六版）[M].北京：高等教育出版社，2007，（6）.
　　[2]陈文灯，黄先开，曹显兵，潘正义.2012考研数学复习指南[M].世界图书出版公司，2011，（5）.
　　[3]李永乐，李正元，袁荫棠.北大燕园・2012年李永乐・李正元考研数学1：数学复习全书（数学1）（理工类）[M].国家行政学院出版社，2011.

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