高中数学中齐次多项式的运用:什么是齐次多项式

时间：2019-02-02 03:30:41　来源：雅意学习网本文已影响人

　　齐次多项式并不是高中数学知识章节中的内容，却多次出现在高中数学课本中。因此，要想打好基础，熟练地运用数学知识，就必须系统地了解齐次多项式内容及相关的运用。若在高一、高二打基础时没有注意到它的系统化，到了高三之后，随着数学知识的系统化，纵观整个数学体系就不难发现，齐次多项式穿插出现在多种题型中。很多高三学生在复习中做了大量习题，甚至做了很多难题笔记、易错题分析，虽然记忆了很多，但缺少对问题的整理总结，以至于不能很好地将各部分知识有机地结合起来。下面我结合多年的教学实践，从数学的角度，谈谈高中阶段齐次多项式的运用方法。
　　2011年4月初，有一名平时成绩总是徘徊在本科线附近的同学向我询问这么一道题的解法：
　　例1.设tanα=2，求的值.
　　对于这道题，我当时没有立即给予解答。想了一会，我问这位同学：这道题教材上有没有类似的？做过的习题中有没有类似的？按考试说明的要求，这题会不会是超纲的？因为他对课本并没有这么深的认识，所以没有立即回答上来，而是带着这些疑问回去找答案去了。
　　这位同学晚自习到办公室来，很高兴地对我说教材上有类似的（苏教版数学必修4，P22，T9），并很快给予解答。现摘录如下：
　　例2.（1）设tanα=2，计算；
　　（2）设tanα=-，计算.
　　解：（1）由tanα=2，可知cosα≠0，为了使用化名法，使目标式向tanα靠近，可同时除以cosα，得
　　=3.
　　（2）使用变1法将分子，分母变换一下，得
　　===.
　　受到课本习题的启发，这位同学很快给出例1的解答：
　　方法1：由已知条件可知sinα=2cosα，代入原式
　　==
　　∵cosα===
　　原式==
　　方法2：由tanα=2，可知cosα≠0
　　=
　　=
　　==
　　我表扬了他做得很好，很完整。我启发他：可以想想自己当时为什么没想起来，以后再次碰到这样的问题该怎么处理呢？这类问题有什么特征呢？他又看了看，很快说出了自己的看法。看到这位同学的兴趣被激发出来，我趁机把这部分知识具体教给他，并告诉他这类式子的特点，在教材中曾多次出现过。
　　定义：一个写成标准形式的多项式，如果所有各项的次数都是n，称它为n次齐次多项式，简称齐次式。
　　如：ax+by+cz是一次齐次式，
　　ax+by+c+dxy是二次齐次式，
　　ax+by+cz-4xyz是三次齐次式，
　　一般不把3x+4y-2之类式子看成齐次式.
　　这位同学高兴地说：那么例1、2的式子都有齐次式的特点。我对他说：你再到教材里找找看，还有吗？一会儿工夫，他便找到这样的式子（苏教版数学必修4，P115，T13）：
　　例3.已知函数y=sinx+2sinxcosx+3cosx（x∈R）,
　　（1）求函数的最小正周期；
　　（2）求函数的最大值.
　　解：由y=+sin2x+3×
　　=sin2x+cos2x+2
　　=sin（2x+）+2
　　∴函数最小正周期T=π
　　（2）函数最大值为+2，当且仅当2x+=2kπ+（k∈Z）时，即在x=kπ+，k∈Z时取得.
　　我说：咱们不能老是将目光盯在三角关系式这部分，看看别的章节有没有？他翻了一会课本，又找到一题，思考了一下，也给出了解答。
　　例4.证明：C+2C+3C+…+nC=n•2.
　　这题有些难，这个同学证法如下：
　　证明：由二项式定理（a+b）=Ca+Cab+Cab+…+Cab+…+Cb
　　令a=1,b=x,则有
　　（1+x）=C+Cx+Cx+…+Cx
　　两边对x求导
　　n（1+x）=C+2Cx+3Cx+…+nCx
　　令x=1,得
　　n•2=C+2C+3C+…+nC
　　这样看来，这位同学在这个问题上动了不少脑筋，于是我趁热打铁，将2010年的江苏考试说明中的一个题目举了出来。
　　例5.不等式选讲：
　　设a≥b＞0，求证：3a+3b≥3ab+2ab.
　　证明：方法1：3a+2b-（3ab+2ab）
　　=3a-3ab-2ab+2b
　　=（3a-2b）（a-b）
　　∵a≥b＞0
　　∴a-b≥0
　　3a-2b≥0
　　∴（3a-2b）（a-b）≥0
　　即3a+2b≥3ab+2ab
　　方法2：考虑到式子的特点，要证
　　3a+2b≥3ab+2ab
　　∵b＞0,原式两边同时除以b
　　即证3（）+2≥3（）+2
　　即要证［3（）-2］（-1）≥0
　　∵a≥b＞0
　　∴≥1,3（）-2≥0
　　经过这一番寻找、归类、解答，这位学生对于齐次多项式有了系统的认识，以后再遇到这部分知识就游刃有余了。有人说，数学就是一座高峰，直入云霄。我认为学生要想克服恐惧攀登高峰，就需要我们的精神引领，通过不懈地总结研究，在适当的时候给予学生合适的引导，让学生精神愉悦地学习数学。
　　齐次多项式的内容涉及很广，本文只做了粗浅的讨论，它的运用还很多，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，对它的研究更加深入。
　　
　　参考文献：
　　［１］中学数学研究.
　　［２］时代数学学习.
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