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    [关于双曲线的离心率的解法]双曲线离心率

    时间:2019-01-06 03:33:02 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      双曲线的基本知识是高考考查的重点和热点,考查中常常涉及双曲线的基本量a、b、c、e之间的关系,特别是双曲线的离心率,能够综合考查多方面的知识,体现双曲线的解题技巧与方法。怎样求解离心率?本文提出以下几种解法。
      一、利用双曲线的定义求解
      例1:设F、F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点,以FF为边作正三角形,若双曲线恰好平分正三角形的另外两边,则双曲线的离心率是多少?
      解:如图1,在正△PFF中,由题意知M为PF的中点,故MF=c,MF=c.由于MF-MF=2a,故c-c=2a,e==+1.
      评注:一般在焦点三角形中经常利用双曲线的定义寻求离心率的关系。
      二、利用双曲线中的隐含的约束条件求解
      例2:已知F、F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点,点P在双曲线的右支上,且PF=4PF,则双曲线的离心率的范围为多少?
      解:∵PF=4PF,又PF-PF=2a,
      ∴PF=.
      又PF≥c-a,
      ∴≥c-a,
      ∴1<e≤.
      评注:由于P在双曲线的右支上,所以满足PF≥c-a,从而得到a、c满足的不等关系,求解出e的范围。
      三、利用平面几何关系求解
      例3:如图2,F、M分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点和右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABM为锐角三角形,则双曲线的离心率的范围是多少?
      解:由题意知△ABM为等腰三角形,故只需∠AMB为锐角即可,只需∠AMF<,
      ∴AF<FM,
      ∴<a+c,
      ∴b<a+ac,
      ∴c-a<a+ac,
      ∴c-ac-2a<0,
      ∴e-e-2<0,
      ∴-1<e<2.
      又e>1,
      ∴1<e<2.
      评注:根据平面几何的相关内容得出a、b、c满足的关系,从而得出e满足的关系式。
      四、利用渐近线求解
      例4:设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=±x,则该双曲线的离心率是多少?
      解:由题意知=,
      ∴a=2b,c=b,
      ∴e==.
      五、利用判别式求解
      例5:设双曲线-y=1(a>0)与直线l∶x+y=1相交与两个不同的点A、B,求双曲线的离心率的取值范围?
      解:由-y=1x+y=1得(1-a)x+2ax-2a=0
      ∵双曲线与直线有两个不同的交点,
      ∴1-a≠0Δ=4a+8a(1-a)>0,
      ∴0<a<2,且a≠1,
      ∵e===1+>,且e≠2,
      ∴e>,且e≠.
      评注:遇到直线与双曲线关系问题,一般把直线方程与双曲线方程联立,消去y得关于x的方程,利用该方程有实根,可求出某些字母的取值范围,从而得到e的取值范围。
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