数与式的区别与联系|数与式的区别

时间：2018-12-23 19:52:29　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：在初中阶段所学过的“实数（集）”和“代数式（集）”之间既有联系又有区别。文章分析、对比了“式”与“数”概念与运算上的区别与联系。　　关键词：式数联系区别
　　
　　在初中阶段所学过的这些“数（集）”和“式（集）”之间既有区别又有联系，搞清这些区别与联系对学生以后的继续学习十分有利。
　　
　　一、“式”与“数”概念上的区别与联系
　　
　　在初中阶段，对于“数”的学习扩展到了实数的范围，而对于“式”的学习则学到了代数式的范围内，以下的比较正是在这两个集合间进行的。
　　（一）定义上的比较
　　在教科书上，代数式的定义是通过列举实例描述的。其实，用以下语言描述更完整：
　　用运算符号（+、－、×、÷、乘方和开方）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独一个数字或字母也是代数式。
　　由此可见，“数”是代数式中的一部分，凡是“数”（指实数）一定是代数式，且属于整式的范围。然而，在整式中不仅包含着实数，还包含有表示实数的字母。关于代数式的概念须强调两点：
　　1. 代数式中的字母只能表示数，否则不行，如：在sinα中的各个字母s、i和n并不表示数，所以它不是代数式。
　　2. 代数式中只能含有＋、－、×、÷、乘方和开方运算，我们把这六种运算称之为“代数运算”。
　　(二)两个集合中主要概念的比较
　　虽然现行的初中教材不提所谓“无理式”的概念，但以后总是要学到的，为了便于现在的比较，帮助大家更加深刻地理解相关概念，我们提前补上“无理式”，于是，实数系和代数式体系分别如下所示：
　　实数有理数整数分数?摇无理数?摇?摇代数式有理式整式分式?摇无理式
　　它们之间的对应概念对照如下表：
　　
　　由上可见：
　　1.所有实数都属于整式；如图1
　　
　　2.分式和分数都表示除法运算，但分式比分数的分母中多了字母；
　　3.无理式与无理数之间不存在任何联系。无理数是特殊的小数，其小数部分“无限不循环”；无理式是一种开方运算，强调“被开方数中含有字母”。
　　
　　二、“式”与“数”运算上的区别与联系
　　
　　（一）整式运算与整数运算的比较
　　任意两个或多个整式可以像整数那样相加减，不过更习惯于称为“合并同类项”。
　　任意两个或多个整式可以像整数那样相乘或乘方，且单项式与多项式相乘的各种情况，与乘法的运算律是统一的，如：满足交换律、结合律、分配律等。
　　两个整式可以做除法，与数的除法的要求一样，分母不得为0，分三种情景：
　　（1）单项式÷单项式；
　　（2）多项式÷单项式；
　　（3）多项式÷多项式（现行的义务教育阶段数学课程标准及课本不介绍）。
　　整式可以像整数的“分解质因数”那样“分解因式”，方法多，技巧性强，这是数学中的重要运算，一定要熟练掌握。
　　（二）分式运算与分数运算的比较
　　分式可以像分数那样约分或通分，所注意的是：分子、分母同乘（或除）以的式子不得为0。
　　两个分式可以像分数那样进行加、减、乘、除，且方法相同。
　　（三）有理式运算与有理数运算的比较
　　有理数的运算就是在整数和分数之间的加、减、乘、除、乘方和开方运算；有理式的运算则是在整式和分式之间的加、减、乘、除、乘方和开方运算。其运算的法则及运算律以上已经做出了归纳。
　　在混合运算上，有理式的运算次序规定与有理数完全相同，都是要先算乘方、开方，再算乘除，后算加减；有括号时先算括号内的；同级运算要从左到右。
　　
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