【解析几何中减少计算量的教学探究】解析几何减少计算量的方法
时间：2019-01-03 03:39:10 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
解析几何是用代数方法研究几何问题的数学学科。在解析几何的解题过程中,无论是计算题还是证明题,我们通常总是将已知的几何条件表示成代数式子,然后经过适当的代数运算,最后回归到所需的几何目标。因此,在解题过程中,尽量较少计算量,往往成为迅速、准确解题的关键。我现将在教学过程中的探索介绍如下,并以例子加以说明。
一、依据题目要求,考虑为达到最终目标而可能被采用的中间目标,加以分析比较,选择其中计算量较少的方法。
例1.一条直线与双曲线交于P,P′两点,与此双曲线的渐近线交于Q,Q′两点,求证:|PQ|=|P′Q′|。
分析:(如图1)设双曲线的方程为-=1,则其渐近线方程为bx±ay=0。若直线与y轴平行,由双曲线及渐近线关于x轴对称易知:|PQ|=|P′Q′|。若直线与y轴不平行,可设直线方程为y=kx+m。如果解方程组-=1bx±ay=0y=kx+m求出P,Q,P′,Q′四点的坐标,再用两点间距离公式求出|PQ|和|P′Q′|,显然计算量很大。为了减少计算量,通过认真分析题设,发现可将证明|PQ|=|P′Q′|转化为证明PP′的中点M与QQ′的中点M′重合。显然这两个命题是等价的,而证明后者的计算量要小得多。现简扼证明如下。
由方程组-=1 ①y=kx+m②得(b-ak)x-2amkx-am=0,
根据中点坐标公式及一元二次方程的根与系数的关系得:x==。
同理,由方程组-=0y=kx+m可得(b-ak)x-2amkx-am=0与x==。
∴x=x,而M与M′都在不平行于y轴的同一直线上,所以M与M′重合,即|PQ|=|P′Q′|。这样问题得以很快解决了。
二、在列方程(或方程组)解题时,应尽量使所列方程的次数较低,从而可少计算量。
例2.已知两直线l:4x-3y-1=0和l:4x-3y+4=0,求与这两条直线相切且过点P(1,1)的圆的方程。
分析:如图(2),易知l∥l,且此两平行直线的距离为1,设所求的圆的圆心为(a,b),半径为r,则r=。依题设得:-=(1)(1-a)+(1-b)=()(2),解此方程可求出a,b,从而进一步可求出圆的方程。但是,方程(2)是二次方程,解(1)、(2)组成的方程组计算量比较大,因此应考虑能否用一个一次方程代替方程(2)。注意到圆上的点P(1,1)的坐标恰好是直线l的方程的解,所以圆与直线4x-3y+1=0的切点就是P(1,1)。这样,由圆的切线性质有=-……(2)′,用方程(2)′代替(2),将可使计算量大为减少。
三、当题中没有给定坐标系时,可以在不违反题意的前提下适当选取坐标系,以达到减少计算量的目的。
这种方法在求解轨迹问题中的益处是明显的,例如椭圆、双曲线和抛物线等方程的建立,而且在解决证明题中通常也是很有效的。
例3.如图(3),正方形ABCD中,M是AB的中点,MN⊥MD,BN平分∠CBE,其中E在AB的延长线上,用解析法证明MD=MN。
证明:以A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系XOY。设正方形边长为a,则各点坐标如图(3)所示。k==-2,∵DM⊥MN,K=,∴直线MN的方程为y-0=(x-)……(1),直线BN的方程为y-0=(x-)……(2)。联立解(1)(2)得N的坐标为(a,),即可证得|MD|=|MN|。
如果将坐标系原点选为B,如图(4)所示,由于BN平分∠CBE,故可设N(m,m)。由DM⊥MN得•=-1,解得m=。
由此可证得|MD|=|MN|。
比较两种不同的选取坐标系的方法,显然第二种较第一种优越,计算量较小。实质上,第二种选取坐标的方法,是充分利用BN平分∠CBE这个条件,使N点纵坐标与横坐标相等,这样只有一个未知数,避免了解方程组,从而减少了计算量。
四、借取其它学科(如代数,平面几何等)的知识解题。
上述例1中应用一元二次不不等式的根与系数的关系,减少了计算量。现再举一例。
例4.一直线经过点(3,1),它被两条平行直线l:x+2y-1=0与l:x+2y-3=0所截线段中点在直线l:x-y-1=0上。求此直线的方程。
解:如图(5)所示,设直线l与l,l分别交于A、B两点,l与l,l分别交于C、D两点,l与l交于点E。依题意E为AB的中点。
∵l∥l,
∴△BED∽△AEC,
∴=,
∴E也是DC中点。
解x+2y-1=0x-y-1=0和x+2y-3=0x-y-1=0,
可得:C(1,0),D(,),E(,),
∴直线l的方程是:=,即2x-5y-1=0。
在这里,应用平面几何知识得出E也是DC的中点是关键。若单纯使用解析几何方法,本题一般解法是设直线l的方程为y-1=k(x-3),然后求出l与l,l与l的交点,再用交点坐标之中点在l上求出k的值。但是因为l的方程中含有未知数k,所以求l与l、l的交点,计算量就比较大。上面应用平面几何知识得出E也是DC的中点,将求l与l,l的交点的问题,转化为求l与l,l的交点的问题,而l的方程是已知的,比较简单,这样就减少了计算量。
五、应用过两直线交点的直线系方程和过圆交点的圆系方程解题。
当题中涉及求过两直线交点的直线或过两圆交点的圆方程时,通常可采用此方法,其优点是可用解一个方程确定直线系或圆系方程的系数入手,代替解方程组(确定交点坐标),从而减少计算量。
例5.以圆O上任意一点C为圆心作一圆与圆O的直径AB相切于D,圆C与圆O交于E、F。求证:EF平分CD。
证明:如图(6)所示,取O为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系XOY,则圆O的方程可写为x+y=R……(1)。
设C点坐标为(x,y),则圆C的方程是:
x-2xx+y-2yy+x=0……(2)
由(1)-(2)得EF的方程为2xx+2yy-R-X=0。
取CD中点G(x,),易证点G在EF上,即EF平分CD。
在上述解题过程中用过两圆交点的圆系方程为:
x+y+Dx+Ey+F+λ(x+y+Dx+Ey+F)=0。
特别的是,当x=-1时即为两圆的公共弦方程。因此不必求出E、F点的坐标,而直接求出EF的方程,从而使计算量大为减小。
培养学生在解题过程中减少计算量的能力,不仅能使学生有效而迅速地解题,而且能使他们思维活跃,提高分析问题和解决问题的能力。因此,在教学中教师必须引起足够的重视。
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