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    浅谈数学中的等价思想:二年级上册应用题500道

    时间:2018-12-23 19:53:43 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      摘 要:等价思想是数学中的一种重要思想,本文试从等价关系、等价变换等方面来具体阐述,并把这一重要的思想运用于常见的各种题型中。   关键词:等价关系 等价变换 思想
      
      引言
      
      等价思想是贯穿整个数学的一种重要思想,本文试从等价关系、等价变换方面来具体阐述数学中的等价思想;并通过对各种数学中的各种常见题型的研究,来体现等价思想的广泛运用。
      
      一、等价思想
      
      我们知道,分类是一种一般的逻辑方法。人们把具有同一特性的东西归为一类。但是到底哪些东西具有同一特性呢?数学上自有它的判定准则,这便是等价关系。斯托利亚尔说过:“等价型的关系都是某种相同。”一般说来,如果A中的一个关系R,它满足如下特性:
      (1)自反性:对任何a∈A,则必有aRa(R条件)。
      (2)对称性:对任何a∈A,b∈A,若有aRb,则必有bRa (S条件)。
      (3)传递性:设a,b,c均在A中,若有aRb,bRc,则必有aRc(T条件)。
      那么我们就称关系R是一个等价关系。
      例如:整数的同余关系,设p是素数,mod(p)是等价关系。(R):a≡a(modp)。(S):若a≡b(modp),则b≡a(modp);(T)a≡b(modp),b≡c(modp),则必有a≡c(modp)。
      数学中特别重视等价关系,因为等价关系往往是分类的依据。我们时常把按某种意义下等价的东西分在同一类,平面图形可按全等或相似或射影不变分类,整数可按质数P的同余可分为0,1,2,…P-1类,方程可按相同的次数分为一次,二次,…,n次方程(次数相等是等价关系),同解也是分类,因为“同解”是等价关系。
      等价关系既是我们观察数学对象,进行等价分类的依据,也是进行数学推导,转换数学形式的基本手段。
      
      二、数学中的等价变换
      
      我们先来看一个例子:求一元一次方程3(x+2)-4=5的解,我们通常是这样解的:经过一系列的变换(去括号,移项,合并同类项,两边除以同一不等于零的数),得出与原方程等价的方程x=1,于是x=1即为上述方程的解。
      这个简单的解方程方法为我们展示了解方程问题的一般解题思路:对于所给的一个方程问题,经过一定变换,把它变成一些与它等价的且简单的方程。那么,这个前后变换的过程就是我们所要研究讨论的等价变换。我们先来讨论另一个重要的概念――等价类。
      设E是一个等价关系的集合,而x是E的一个元素,我们把E中与x等价的元素所组成的E的子集,称作x的等价类,记作Rx,那么,这样一个集合E,若在它上面定义了一个等价关系R,则它的元素就可以按彼此是否等价去进行分类,若aRb,则称a,b属于同一类。
      在此基础上,我们设集合E中定义了一个等价关系R,若集合E上的变换T,使E中的一元素a均变为它的等价类Ra中的另一元素,即T(a)Ra,则T就叫做关于这个等价关系的等价变换。
      等价变换是保持等价变换的变换,某个量(或性质)在这类变换下不变,当要计算这个量或应用这一性质时,就可以利用此类变换来改变问题的形式与条件,从而达到排除无关因素,简化问题的目的。
      例1 计算(-71004,-154452),即求这两个数的最大公约数。
      解:用欧几里得算法求两个不全为零的整数的最大公约数时,可实施如下等价变换:
      
      在计算过程中,每一步都是根据上述等价变换完成的,即步步保持等价――最大公约数不变,又不断地简化,直至得出结果。运用上述等价变换(1)~(5)。可以求出任两个不全为零的整数的最大公约数。
      
      三、数学中的等价思想
      
      数学中蕴涵的等价思想大致可以从以下几个方面去考虑:
      1.数、形系统的等价
      在数的方面,有等值变换,同余变换,同解变换;在形的方面,有合同变换,相似变换,等积变换。从有理数到复数,由数的运算法则和整式的恒等变形法则所反映的等值变换,是数学中最基本的等价变换,它反映了形变值不变的变换过程。由解一元整式方程和线性方程组的过程所反映的同解变换,也蕴涵数学中重要的等价思想,它反映了形变解不变的变换过程,几何中,由合同变换发展到相似变换,等积变换。图形在变化过程中,都有某个确定不变的要素。以上这些包含等价思想的变换,是中等数学学习的基本内容。
      2.命题的等价与系统的同构
      命题的等价,只是一个命题与另一个命题之间的等价关系,而两个系统同构则意味着这两个系统间能相互对应,即一个系统中的问题,在另一个系统中都有等价的对应形式,下面只介绍同构概念,并据此分析中学数学的典型例子。
      同构――假设有两个集合A和A′,O和O′是集合A和A′中运算且满足同样一组公理,如果存在一个一一映射g,使A和A′中的元素以及各自的运算结果都能一一对应,即在两个形式系统
      
      则称是L(T)与L′(T)间的一个同构映射,也称L(T)与L′(T)是一对同构系统。对于两个同构的代数系统L(T)与L′(T),它们在本质上是相同的,仅仅是在形式上存在差异,如果把定义中“存在一个一一映射”改为“存在一个映射f”,其余条件不变,这时称L(T)到L′(T)中的映射f是一个同态。
      例2原命题:已知:梯形ABCD中,AB∥CD,EF是梯形的中位线,求证:EFAB,EF=1/2(AB+CD)。
      等价命题1:
      “已知梯形ABCD中,AB∥CD,E为AD的中点,EF∥AB交BC于F,求证:EF就是梯形的中位线,且EF= (AB+CD)。”
      等价命题2:
      “已知梯形ABCD中,AB∥CD,E、F分别是AD,BC的中点,CH∥DA交AB于点H,G为CH的中点,求证:折线EGF就是梯形的中位线,从而EF∥AB,EF=1/2(AB+CD)。”
      等价命题3:
      “已知梯形ABCD中,AB∥CD,E,F,K分别是AD,BC,AC的中点。求证:折线EKF就是梯形的中位线。”
      3.可控制的变换
      在初等数学中,从一个方程变换成另一个方程,有时不一定是同解变换,更不是等价变换,另外恒等变换也只有在所有解析式的定义域的公共部分内才成立。像这样,我们把一类虽不等价但实施后其结果可以控制的变换,称为可控制的变换。某些可控制的变换附加某些条件后,即可成为等价变换,它主要用在解方程、不等式中,常见的可控制变换可分为以下几类:
      ①两边同乘以一个整式;
      ②利用比例性质进行变换;
      ③两边乘方;
      ④施行两式相除的运算;
      ⑤两边取同底的对数;
      ⑥利用同名三角函数相等的条件;
      ⑦对方程的超越函数施行恒等变换。
      以上各种变换会使方程的解产生变化(对不等式也如此),因此解题后应及时采用检验的方法予以弥补。
      四、用等价思想解数学题
      有了前文的等价关系,等价变换的知识后,我们就知道:如我们需要解决问题A,可能无法直接求出它的解答,我们可以去寻找与A等价的另一个问题B,考虑B时,我们又可能联系与B等价的第三个问题C。如此下去,直到最后得到问题L。问题的分析如下等价辅助问题链:
      A → B → C → … → L
      而解答的过程,只要把这个顺序颠倒过来,逐个叙述就可以了:
      L → … → C → B → A
      用等价思想来分析与推演并最终解出此题有以下几种情况:
      1.换一个角度数学中有些问题,用通常的思路去分析却难以获解。在这种情况下,就要突破思维定式,换一个角度去思考,改变观察的方向,从不同的侧面去接触事物的本质。
    本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文   例3有4×6=24个方格,每个方格可以放置一个奶瓶,现要放置18个奶瓶,但横竖都要保持偶数,问如何放法?
      解:这是在1984年数学教育国际讨论会上一个英国人提出来的。在18个方格上打“O”(表示放奶瓶),但要保持横竖是偶数,总是“顾此失彼”。如果我们不从放奶瓶的角度去考虑,反过来从“不放奶瓶”的角度去思考:在6个方格上打“×”(表示不放奶瓶,而剩下的18个方格放奶瓶),且要求打“×”的格横竖都是偶数,则问题就简单多了。
      2.改一种说法当我们所遇到的问题的提法比较隐晦或比较抽象时,我们改变成一种新的说法,则往往可使问题变得显著或具体起来。
      例4 (匈牙利1986年中学数学竞赛试题)在一个6×6棋盘上,已经摆好一些1×2的骨牌,每一个骨牌盖住了两个相邻的格子。求证:如果至少还有14个空格,则至少还能放进一块骨牌。
      证明:我们先把命题的条件和结论均改一种说法:“至少还有14个空格”,――至多覆盖了11块骨牌;“至少还能放进一块骨牌”――至少有两个相邻的空格。这样,问题就变得易于证明。
      首先,如第一行至少有4个空格,那么至少有两个空格相邻,结论显然成立。其次,假设第一行最多有3个空格,那么除第一行外,至少还有11个空格,我们把这些空格叫做“特格”。如果有两个特格是相邻的,或者某个特格上面的一格为空格,则结论显然成立。假设任何特格不相邻,且每个特格上面都有一块骨牌。那么,除最后一行外,棋盘至少盖了11块骨牌,由变换后的条件可知,最后一行没有骨牌,都为空格,当然可以再放进一块骨牌。证毕。
      3.建一个模型 将所研究的问题模型化是通过建设一定的数学模型,借助模型的直观来完成解题的一种方法。模型的实质是结构上的等价变换,数学上常常称为“同构”。利用同构常常可使一个领域中的问题等价变换到另一个领域内求解。
      例5求证:(C) +(C) +…+(C) =
      证明:此题常用的方法是对方幂(1+x) 采用两种方式展开,然后比较x 的系数。下面我们建立模型来证明就显得特别简单。
      建立如下模型:假定2n个不同的产品中有n个正品,n个次品,今取n个,问有多少不同的取法?
      一方面,从2n个产品中选取n个有C= 种方法;另一方面,各种取法中含k个次品的取法为CC=(C) 种,但k可取0,1,…,n,从而共有(C) +(C) +…+(C) 种取法。综上述,命题获证。
      4.用一种记号当一些问题叙述起来很不方便,或者表达非常繁琐时,我们采用一些特定的记号来表示,则往往能清楚而简洁地表述出那些“别扭”的内容。
      例6桌上有n只茶杯,杯口都朝上,我们把翻转[杯口朝上(下)换成杯口朝下(上)]偶数只茶杯称为一次运动,问经过有限次运动,是否可以把茶杯换成杯口都朝下?
      解:我们用“+”号表示杯口朝上,“-”表示杯口朝下,而把这些符号的“积”(按通常的符号法则)称为相应的杯子放置状态的符号。这样,开始状态是正号,而每次运动翻转偶数只杯子,改就改变偶数个符号,因而“状态”的符号在这种运动下保持不变,但目标状态(n只杯子都朝下)的符号是负号,因此,问题答案是否定的。
      
      参考文献:
      [1]梁之舜,吴伟贤.数学古今纵横谈.科学普及出版社广州分社,1982年.
      [2]苏巍.论等价转化思想我数学试试题.中国基础教育研究,2006年.
      [3]潘永翔,王国伟.等价转化思想在中学数学解题中的应用.中学数学杂志,2002年.
      
      注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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