等价转化 [两则恒成立条件的等价转化与应用]
时间：2020-02-27 07:26:29 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
恒成立问题是历年高考数学函数与不等式知识考查的热点，变量分离和函数图像思想是解此类问题的基本思想.其中解答复合命题有关的恒成立问题时等价演变时常会出现差错.笔者在本文阐述解决关于恒成立命题的等价性转化的有效方法.
“合取恒成立条件”的等价性：命题p为真命题且命题q为真命题恒成立的条件m.命题p为真命题恒成立的条件m�1,命题q为真命题恒成立的条件m�2,则m=m�1且m�2.
2008年浙江高考理科数学15题：已知t为常数，函数y=|x�2-2x-t|在区间［0，3］上的最大值为2，则t= .
解：问题可转化为命题①：|x�2-2x-t|≤2在区间［0，3］上恒成立，也就是②：-2≤x�2-2x-t≤2在区间［0，3］上恒成立.即为x�2-2x-t≥-2
x�2-2x-t≤2在区间［0，3］上恒成立.故有t≤x�2-2x+2在区间［0，3］上恒成立，且t≥x�2-2x-2在区间［0，3］上恒成立.令h(x)=x�2-2x+2=(x-1)�2+1,x∈［0，3］，h�min�(x)=1,故t≤1；令g(x)=x�2-2x-2=(x-1)�2-3,x∈［0，3］，g�max�(x)=1,故t≥1.故有t≤1且t≥1，从而t=1.
评注：当问题中含有逻辑联结词“且”时，通过“合取恒成立条件”的等价性可直接转化，通过变量分离求出参数t的数值，充分体现了通性通法解题.
“或取恒成立条件”的等价性：命题p为真命题或命题q为真命题恒成立的条件m.命题p为真命题恒成立的条件m�1,命题q为真命题恒成立的条件m�2,命题p为真命题命题不恒成立且命题q为真命题恒成立的条件m�3，命题p为真命题命题恒成立且命题q为真命题不恒成立的条件m�4,则m=m�1或m�2或m�3或m�4.
重庆市2007年学生学业质量抽测试卷(第二次)当中的押轴题，其中第二问涉及绝对值内含参不等式恒成立中逻辑联结词“或”的问题.同学们在做此题时产生了各种错误，笔者先对错误进行展示与纠正，分析“或”与“且”在这两个问题中的区别.
原题中的第二题：已知函数f(x)=�ln�(2+3x)-32x�2，对任意x∈［16,13］，不等式|a-�ln�x|+�ln�［f′(x)+3x］>0恒成立，求a的范围.
错解一：问题可转化为命题①：|a-�ln�x|+�ln�33x+2>0在［16，13］上恒成立.问题可转化为命题②：a-�ln�x>�ln�3x+23在［16,13］上恒成立或a-�ln�x�ln�x+�ln�3x+23在［16,13］上恒成立或a�ln�3x�2+2x3在［16,13］上恒成立或a�ln�13.
令g(x)=�ln�3x3x+2,则g(x)=�ln�33+2x在［16,13］上递增，故g�min�(x)=g(16)=�ln�15,∴a�ln�13.
错解分析：由“或取恒成立条件”的等价性可知，错解一中遗漏了m�3与m�4这两个条件.
错解二：①当a≥�ln�x恒成立时，a>�ln�x+�ln�3x+23在［16,13］上恒成立.故a≥�ln�13且a>�ln�13,则a>�ln�13.
②当a≤�ln�x恒成立时，a�ln�13.
错解分析：去掉绝对值是一个动态过程，随x的变化而发生改变，不能一概而论.综合两种错误解法而得到
正确解法一：在错解一、错解二的基础上可知，函数的图像如右图，当a�ln�13,a>h(x)在x∈［16,13］上恒成立.当a∈［�ln�15,�ln�13)时，y=a与y=�g(x) 交于(x�1,a),交y=h(x)于(x�2,a)(x�1h(x)成立；当x∈［x�1,13］,a0恒成立.当a=�ln�13时，a>�h(x)只在x∈［16,13)时；当x=13时，a=h(x)=�ln�13，a0不恒成立.综上所述：
a∈(-∞,�ln�13)∪(�ln�13,+∞).
评注：正解一充分体现“或”与“且”在恒成立问题的区别，数学解答的严密性得到展示.
绝对值不等式等价性：|t-f(x)|>g(x)在区间［a,b］(af(x)+g(x)在恒成立的条件m�1或t�f(x)+g(x)不恒成立且tf(x)+g(x)恒成立且t0在［16,13］上恒成立.即为|a-�ln�x|>�ln�3x+23在［16,13］上恒成立.又可转化为命题②当g(x)=�ln�3x+23≥0时，不等式|a-�ln�x|>�ln�3x+23在［16,13］上恒成立.即只要x=13时，|a-�ln�13|>0在［16,13］上恒成立，故a∈(-∞，�ln�13)∪(�ln�13，+∞).
实例 (2008年4月台州市高三数学模拟考试理科试题)已知函数f(x)=|x-a|+1x(x>0),(1)当a=1时，求f(x)的最小值；
(2)欲使f(x)≥12恒成立，求a的取值范围.
解：(1)是基础题，这里不讨论.
(2)|x-a|+1x≥12在x>0时，不等式恒成立.即为|a-x|≥12-1x在x>0时，不等式恒成立.令g(x)=12-1x≥0可知x≥2或x
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