[例析点对称问题]群化构成对称排列
时间：2019-05-21 03:28:29 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：对于学生而言，对称问题的学习有一定难度，本文通过几个例题进行简单阐述。 关键词：数学;点对称;例析 中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2012）10-086-1
在课本P88仅提供一个中心坐标公式，而没有明确讲对称问题，但在课本P94有多个题目用对称，故对称问题对于学生而言难度还是比较大的，但对称问题在实质上也就是分为点点、点线、线点和线线对称以及用对称求最值，而线点对称和线线对称还是可以转化点点对称和点线对称。本文通过几个例题进行简单的阐述。
一、点点对称（中心问题）
例1 （课本P94、2）已知点P(－1,2)，求点P关于原点的对称点的坐标。
分析：本题实质上就是原点为P点以及对称点的中点，利用中点坐标公式，可求得对称点的坐标为(1,－2)。
变形1：已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(2,3)，求第四个顶点D的坐标。
提示：由于平行四边形的四个顶点的相对位置不确定，即以A、B、C为三个顶点可得三个平行四边形，如ABCD、ABDC、ADBC，因此顶点D有三个，可分类讨论，再利用平行四边形的对角线相互平分，即中点重合。易解得D的坐标分别为(1,3)、(3,3)、(－1,－3)。
变形2：（课本P94、14）过点P(3,0)作直线l，使它被两条相交直线2x－y－2=0和x+y+3=0所截得的线段恰好被P点平分，求直线l的方程。
提示：设所求直线l与x+y+3=0的交点为(a,－3－a)，则它关于点P(3,0)对称点为(6－a,3+a)，且该点落在直线2x－y－2=0上，很易求得a=73，这样就不难求出直线l的方程为：8x－y－24=0。
变形3：（课本P94、18）已知直线l:y=3x+3，求直线l关于点M(3,2)对称的直线的方程。
提示：在所求直线上任取一点P(x0,y0)，P关于M(3,2)对称的点P′(6－x0,4－y0)，且该点落在已知直线l上，则4－y0=3(6－x0)+3，即3x0－y0－17=0。故所求直线的方程为3x－y－17=0。
二、点线对称
例2 已知直线l:y=x－1，求点P(3,4)关于l对称的点Q的坐标。
分析：方法1、设所求的点Q的坐标为(a,b)，则根据题意可得直线l既垂直又平分线段PQ。得到两个方程，再联立方程组可解得Q(5,2)。
方法2、垂直于l的直线方程可设x+y+c=0，它经过点P，所以解之得c=－7，这样可求出两条直线的交点(4,3)，此点为PQ的中点，故可求得Q的坐标(5,2)。
注：方法2就是将点线问题转化为点点问题，学生对于这种转化思想不易想到。
变形1：（课本P94、18）已知直线l:y=3x+3，求直线x－y－2=0关于l对称的直线的方程。
提示：方法1、先求出两条直线的交点坐标，再在直线x－y－2=0取一不同于交点的特殊点，则可求出它关于l对称点坐标，再根据直线的两点式可求出所求直线的方程为7x+y+22=0。
方法2：设所求直线上任意一点坐标(x0,y0)，则它关于l对称点应落在已知直线x－y－2=0上，这样就很易求出所求直线方程。
变形2：（课本P94、16）已知光线通过点A(2,3)，经过直线x+y+1=0反射，其反射光线通过点B(1,1)，求入射光线和反射光线所在的直线的方程。
提示：可求点A(2,3)关于直线x+y+1=0对称点A′(－4,－3)，点B(1,1)直线x+y+1=0对称点B′(－2,－2)，则入射光线所在的直线的方程就是直线AB′的方程，反射光线所在的直线的方程就是直线A′B的方程，再根据直线的两点式方程很易求出所求直线方程。
三、利用对称求最值
例3 已知点M(－1,3)，N(6,2)，点P在x轴上，求PM+PN取最小值和点P的坐标。
分析： M关于x轴对称点的坐标为M′(－1,－3)，则PM+PN取最小为M′N，根据两点距离公式可得最小值74，此时P为直线M′N与x轴交点，设再根据三点共线可求得a。
变形1：求(x－2)2+22+(x－8)2+42（x∈R）的最小值。
提示：本题可以转化一动点(x,0)到定点A(2,－2)，B(8,4)之和的最小值，即三点共线。
变形2：已知点M(－1,－3)，N(6,2)，点P在x轴上，求PM－PN取最大值和点P的坐标。
提示：M关于x轴对称点的坐标为M′(1,－3)，则PM－PN=PM′－PN，当点P就与点F重合时，PM－PN取最大值，此时M′,N,P三点共线。
