极限解题思想【极限思想在数学解题中的应用】
时间：2019-02-11 03:18:10 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
极限思想方法是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，通过对问题的极端状态的讨论，避开了抽象复杂的演算，优化了解题过程和解题方法，降低了解题难度。本文以运动变化的观点讨论了极限思想在数学竞赛中的应用，以开阔学生的视野，提高学生解题的技巧。
1.利用极限思想，简化解题，深化思维
在求不等式的解集和变量的取值范围问题中，利用极限思想来寻求解题的途径，常常能达到简化计算过程，化难为易，深化思维，使问题轻松获解的效果。
例1（2004年全国高中数学联赛试题）：不等式+logx+2＞0的解集是（）。
A.［2，3）B.（2，3］C.［2，4）D.（2，4］
简析：本题为不等式解集问题，通常考查变数字母取其区间的端点和端点的极限情况。当x趋近2时，左边结果趋近，且当x=2时，不等式有意义，排除B、D，又当x趋近于4时，不等式成立，排除A，因此答案选C。
例2（2004年高中数学联赛四川赛区试题）：已知不等式m+（cosθ-5）m+4sinθ＞0恒成立，则参数m的取值范围是（）。
A.0≤m≤4B.1≤m≤4C.0≤m或m≥4D.m≤0或m≥1
简析：本题为参变量的取值范围问题，当m趋近∞时，左边结果大于0，排除A、B，又当m趋近1时，不等式不一定成立，排除D，因此答案选C。
评注：极限思想是特殊值法的延伸，它提供了从变量变化中研究趋势的数学方法。减少计算量是使问题迅速、准确获解的关键；利用极限思想，着眼于问题的极限状态是减少计算量的重要途径。
2.利用极限思想，优化解题，活化思维
在立体几何问题中，利用运动变化的观点对最大、最小、最近、最远等特殊位置进行极端位置的考察，以达到发现问题的解题思路和问题结果的目的，活化思维，培养思维的灵活性。
例3（1992年全国高中数学联赛试题）：设四面体的四个面
的面积分别为S，S，S，S，它们中的最大值为S，记 ，
则λ一定满足（）。
A.2＜λ≤4B.3＜λ＜4C.2.5＜λ≤4.5D.3.5＜λ＜5.5
图1
简析：如图1，不妨设底面ABC的面积最大，若四面体为正四面体，则λ取最大值为4；当顶点P无限趋近底面ABC时，则侧面PAB、PBC、PCA无限趋近底面，则λ无限趋近于2。因此从以上两种情况可得出结论，答案为A。
例4（1995全国年高中联赛试题）：设O是正三棱锥P-ABC底面△ABC的中心，过O的动平面与正三棱锥P-ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q，R，S，则和式++（）。
A.有最大值而无最小值
B.有最小值而无最大值
C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等
D.是一个与平面QRS位置无关的常量
图2
简析：如图2，考查动平面QRS，当动平面QRS无限趋近底面ABC，则和式++趋近++（定值）；当动平面QRS的点Q趋近A，R趋近PB的中点，则动平面QRS与直线PC平行，相交于无穷远点，和式++趋近+（定值）。因此综合以上两种极限情况可得出结论：和式++是一个定值，答案为D。
例5（2004年全国高中数学联赛试题）：在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）。
A.（π，π）B.（π，π）
C.（0，）D.（π，π）
图3
简析：如图3，设侧面所成的二面角为α，当顶点无限接近底面时，α趋于π；当顶点离底面无限远时，侧棱无限趋于与底面垂直，此时，α无限趋于底面正n边形内角π，所以，二面角α的取值范围为π＜α＜π。本例棱锥高不定，可将顶点看作是运动变化的，运用极限思想，考虑两种极限位置，从而使问题得到解决。
评注：将某些点或量看成是运动的点，应用极限思想考查运动变化的极限情况，使问题获解。
3.利用极限思想，化动为静，内化思维
在对于定点、定值等的平面几何、解析几何问题中，利用极限思想对条件的某种极限状况进行考查，往往能探索出问题的结论，再将问题从极端情况过渡到一般情况，使复杂问题迎刃而解。
例6（1990年全国高中数学联赛试题）：设双曲线的左右焦点是F，F，左右顶点为M，N，若△PFF的顶点P在双曲线上，则△PFF的内切圆与FF边的切点位置是（）。
A.在线段MN的内部B.在线段FM内部或FN内部C.点M或点ND.不能确定
简析：如图4，F，F，M，N为定点，动点P在双曲线上移动。当P无限趋于M或N时，则△PFF的内切圆与边FF的切点位置无限趋于M或N；又当∠FPF=时，可计算出FP的长度等于F到△PFF的内切圆切线的长度，故猜想得C。本例为客观题，有选择性，采取上述方法简化讨论过程，当然此题可用常规方法，但运算量较大。
图4
例7（IMO1959-2）：在定线段AB上任取一点M，在AB的同一侧以AM，BM为边，作正方形AMCD，BMEF，设这两个正方形的外接圆的圆心分别为P，Q，这两个圆交于M，N，求证：MN过某定点。
图5
简析：如图5，设动直线MN过定点T，由于T的位置不知，可以考虑M的特殊位置。若M为AB的中点，则T必在线段AB的中垂线上；若M无限趋近于A，则N也无限趋近于A，圆P退化为点A，割线MN逐渐趋近于AB为弦的圆的切线AT。综合分析，得出T的位置应是以AB为直径的半圆弧的中点。结论改证：M、N、T三点共线。可证得N、C、B共线，得出∠ANB=，N在AB为直径的圆上，又∠ANM=∠MNB=，得出要证明的结论。
评注：通过对研究对象的特殊位置和运动过程的动态分析，寻求出变化中的不变量，以获得有益的启示，做出合理的判断，达到以静制动、动中求静的目的。
4.利用极限思想，化动为静，催化思维
在研究未指明形状和位置的轨迹问题时，通过对一些特殊点和极限点等情况的研究来判断轨迹的大致轮廓，是探求轨迹的一个极其重要的方法。
例8（2005年全国高中数学联赛试题）：过抛物线y=x上的一点A（1，1）作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，且满足=λ，点F在线段BC上，且满足=λ，且λ+λ=1，线段CD与EF的交于点P，当C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程。
图6
解析：如图6，由题意计算知D为AB的中点，题目中涉及两个变量λ，λ，考查问题的特殊情况和极限情况：（1）当λ=λ=时，则==，EF∥AB，点P为三角形ABC的重心；（2）当λ趋近于（等于）0，λ趋近于（等于）1，或当λ趋近于（等于）1，λ趋近于（等于）0时，点P仍为三角形ABC的重心。因此可以得出结论：点P为三角形ABC的重心。
图7
对点P为三角形ABC的重心的证明也比较容易，如图7，过A，B分别作EF的平行线交CD于H，N，则==λ，==λ，λ+λ=1，故+==1，DP=PC，点P为三角形ABC的重心。再根据重心的性质求出点P的轨迹方程为y=（3x-1），（x≠）。
评注：极限点、临界点、特殊点是轨迹上的“静点”，其他点看成是“动点”，通过对“静点”的情况研究来把握“动点”的变化，以求“动中求静，以静窥动”。
极限思想是一种基本而又重要的数学思想，从某种意义上体现了“量”变到一定程度转化为“质”的变化过程。无限趋近的概念和性质虽然超出高中课本知识，但在教学过程中，教师应有意识让学生掌握和运用极限思想，如此既可以加深对极限概念的理解，有助于培养学生的发散思维、收敛思维和逻辑思维能力，又可以开阔学生眼界，增强其创新意识和创新能力。
参考文献：
［1］吴振英，陈湛本.论极限的思想方法［J］.广州大学学报（自然科学版），2003，（05）.
［2］罗万春，宋乃庆.极限概念的表征及教学策略［J］.海南师范学院学报（自然科学版），2001，（03）.
［3］桂淑英.运动变化观点及极限思想在解题中的应用［J］.数学通报，2004，（03）.
［4］张国良.极限与极限思想在中学数学中的应用［J］.中学数学杂志，2003，（05）.
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