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    【直线与圆的位置关系】直线与圆的位置关系ppt

    时间:2018-12-27 03:35:54 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      摘要: 本文作者借助例题、解析及变题,试图使学生从“形”和“数”两个角度进行分析,充分利用圆心到直线的距离与半径的大小关系研究直线和圆的位置关系。   关键词: 《解析几何》 直线和圆的位置关系 研究
      
      引言
      在江苏省数学高考的八个C级要求的知识点中,《解析几何》这一章节就有两个,分别是直线和圆,在此我们一起来研究直线和圆的位置关系。
      一、高考要求
      (一)能根据给定直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系。
      (二)能解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题。
      二、课前预习
      (一)知识梳理
      1.直线与圆的位置关系判断方法
      (1)几何方法(d-r法)
      直线l:Ax+By+C=0,圆C:(x-x ) +(y-y ) =r (r>0)。
      圆心C(x ,y )到直线Ax+By+C=0的距离为d= 。
      则:①相离?圳d>r,②相切?圳d=r,③相交?圳d<r。
      (2)代数方法(△法)
      直线l:Ax+By+C=0,圆C:x +y +Dx+Ey+F=0。
      由Ax+By+C=0x +y +Dx+Ey+F=0消元,得到的一元二次方程的判别式为△,①相离?圳Δ<0,②相切?圳Δ=0,③相交?圳Δ>0。
      2.圆的切线方程
      (1)已知切线斜率k圆的切线有两条。
      (2)已知切线上一点,①点在圆上:有一条切线,②点在圆外:有两条切线。
      3.圆的弦长
      设弦长为l,弦心距为d,半径为r,则有l=2 。(数形结合)
      (二)热身训练
      1.过P(4,0)的直线l与圆x +y =8有两个不同的交点,则直线l斜率k取值范围-1<k<1。
      变题:过P(4,0)的直线l与曲线y= 有两个不同的交点,则直线l的倾斜角α的范围α=0或 π<α<π。
      2.已知直线5x-12y+a=0与圆x -2x+y =0相切,则切线方程为5x-12y+8=0或5x-12y-18=0。
      3.已知圆(x-1) +(y-2) =4,则过点P(-1,5)的圆的切线方程x+1=0或5x+12y-55=0。
      4.直线2x+y+3=0截圆x +y -6x-2y-15-0所得的弦长2 。
      5.已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程x +(y+1) =18。(08天津卷)
      三、课时学案
      (一)例题精讲
      例1.若圆x +y -4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l∶x+y+b=0的距离为2 ,则b的取值范围-6≤b≤-2。
      解析:由圆心(2,2),半径3 ,则圆心到直线l的距离d≤ ,即 ≤ ,解之得-6≤b≤-2。
      变题1:若圆x +y -4x-4y-10=0上有两个不同点到直线l∶x+y+b=0的距离为2 ,则b的取值范围-14<b<-6或-2<b<6。
      解析:圆心到直线l的距离 <d<5 ,
      即 < <5 ,解之得-14<b<-6或-2<b<6。
      变题2:若圆x +y -4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l∶y=kx的距离为2 ,则直线l的斜率的取值范围2- ≤k≤2+ 。(06湖南卷)
      解析:圆心到直线l的距离d≤ ,即 ≤ ,解之得2- ≤k≤2+ 。
      例2.过点( ,0)的直线l与圆x +y =4交于A、B两点,当△AOB面积最大时,求直线l的方程。
      解析1:(1)若直线l斜率不存在,则x= 。由x +y =4x= ,解得A( ,1)、B( ,-1),所以S = ×2× = 。
      (2)若直线l斜率存在,设直线的方程为y=k(x- ),则圆心到直线l的距离d= ,|AB|=2 =2 ,所以S = d|AB|=
      = ≤ =2。
      当且仅当 =4- ,解之得k=± ,则直线l的方程为 ±y- =0。
      解析2:设圆心到直线l的距离为d,且d∈(0, ),则|AB|=2 =2 ,所以S = d|AB|=d = ≤ =2。当且仅当d =4-d ,解之得d= ∈(0, ]。设直线l的方程为y=k(x- ),由d= = ,解之得k=± ,则直线l的方程为 x±y- 。
      解析3:设∠AOB=θ∈[ ,π),S = |OA||OB|sin∠AOB=2sinθ。当θ= 时,S =2sin =2,此时d= ∈(0, ]。设直线l的方程为y=k(x- ),由d= = ,解之得k=± ,则直线l的方程为 x±y- 。
      变题:过点(1,0)的直线l与圆x +y =4交于A、B两点,当△AOB面积最大时,求直线l的方程。
      解析:设圆心(0,0)到直线l的距离为d,且d∈(0,1],则|AB|=2 -2 ,所以S = d|AB|=d = = 。由d∈(0,1],当d=1时,(S ) = ,直线l的方程为x=1。
      例3.已知平面区域x≥0y≥0x+2y-4≤0恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖。(Ⅰ)试求圆的方程。(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点A,B,满足CA⊥CB,求直线l的方程。
      解析:(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)构成的三角形及其内部,且△OPQ是直角三角形,覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是 ,则圆C的方程是(x-2) +(y-1) =5。
      (2)设直线l的方程是:y=x+b,因为 ⊥ ,所以圆心到直线l的距离是 ,即 = ,解之得b=-1± ,则直线l的方程是:y=x-1± 。
      变题:已知平面区域y≥0x+y-2≥0x+2y-4≤0恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖,试求圆的方程。
      解析:由题意知此平面区域表示的是以M(2,0),P(4,0),Q(0,2)构成的三角形及其内部,且△MPQ是钝角三角形,覆盖它的且面积最小的圆是以其最大边PQ为直径的圆,圆心是(2,1),半径是 ,则圆C的方程是(x-2) +(y-1) =5。
      四、小结
      1.要注意数形结合,形数结合。
      2.充分利用圆的性质,圆与直线相切,①圆心到切线的距离=半径,②圆心与切点的连线垂直切线;圆与直线相交设弦长为l,弦心距为d,半径为r,则有l=2 。
      
      注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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