[几何探求代数解] 分别用代数方法和几何方法解方程组
时间：2019-01-06 03:29:31 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
立体几何中的探索性问题是高考中的常见题型。因其涉及的点、线具有可变性与不固定性，使此类题型具有一定的探索性和创造性。用传统的立体几何法去探求难度较大，而用空间向量法可“化找为求”，变探索为固定求解，使几何问题代数化，大大降低了思维难度。
例1：如图，正三棱柱各棱长都相等，问在棱AA上是否存在点E使二面角E-BC-A为60°。
解：取AC、AC中点分别为O和F，分别以OB、OC、OF所在直线为x、y、z轴建立坐标系如图1，设正三棱柱的长为2，则C（0，1，0）、B（，0，0）、C（0，-1，0），假设存在点E满足条件，可设E（0，-1，b）（0≤b≤2），
∴=（-，-1，b），=（-，1，0）
可取平面ABC的法向量为=（0，0，2），
设平面BCE的法向量为=（x，y，z），
由・=0・=0得-x-y+b・z=0-x+y=0
∴y=xz=x
令x=
∴y=1，z=
∴=（，1，）
∴|cos|==cos60°
点评：立体几何中点的探求常假设其存在，设一参数，再根据题中条件解决参数问题即可。用立体几何法解决二面角问题须先找到此二面角的平面角，而向量法则可化为计算两向量夹角问题。
例2：如图2，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为∠DAB=60°的菱形。正三角形PAD所在平面垂直于底面ABCD。
（1）求证：AD⊥PB。
（2）取BC中点E，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD。若能请证明，若不能请说明理由。
证明：（1）取AD中点O，则正三角形APD中，
PO⊥AD又面PAD⊥面ABCD?圯PO⊥面ABCD。
又菱形ABCD中，∠DAB=60°?圯正三角形ABD中OB⊥AD，分别以OB、OD、OP所在直线为x、y、z轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2，
则||=||=
∴A（0，-1，0），D（0，1，0），B（，0，0）
∴=（0，2，0），=（-，0，）
∴・=0
∴AD⊥PB
（2）在菱形ABCD中=2・
∴=（0，1，0）
∴E（，1，0），C（，2，0）
设=λ，0＜λ＜1
∴=（-，-2，）
则=+=（，1，0）+λ（-，-2，）=（-λ，1-2λ，λ）
又=（，0，0）
设=（a，b，c）是面DEF的法向量，
则・=0・=0
∴a=0（1）a（1-λ）+b（1-2λ）+cλ=0 （2）
显然=（0，0，1）是面ABCD的法向量。
∴面DEF⊥面ABCD?圳・=0
∴c=0 （3）
由（1）（2）（3），得a=0，令b=1，则λ=.
即取PC中点F，可使得平面DEF⊥平面ABCD.
点评：立体几何中线、面平行与垂直的证明，在向量中可转化为向量之间的关系，从而用计算的方法达到目的。探索点的位置，可假设存在（设一参数），通过向量的运算解决此参数即可。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
