例谈凑微分法|凑微分法技巧19个公式
时间：2018-12-29 03:30:23 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 凑微分法是重要的积分法，也是初学者难以掌握的积分法。本文通过举例来说明如何凑微分。 关键词： 基本积分公式 凑微分 不定积分 能够用基本积分公式直接求函数的不定积分问题很有限，对许多函数的积分，比如像tanxdx这样基本初等函数的积分，都不能由基本积分公式直接得出结果。凑微分法，就是先从基本积分公式中找到与要求的积分式子相近的公式，再对照公式，把被积表达式凑成与公式相同的形式，从而利用公式求出积分。能够用这种方法求解的被积函数的形式的多样性，决定了凑微分法的重要性，也由于被积函数形式的多样性，决定了凑微分法的多变性和困难性。怎么凑，这是令初学者常感困惑的事情。
下面试举几例来说明如何用凑微分来求不定积分，敬请读者指正。
例１：求cosxdx。
从基本积分公式中找到与此积分相近的公式：cosxdx＝sinx+C，找到与公式中的不同之处：dx中x的系数与被积函数中x的系数不一样。我们通过求d2x＝2dx，得到dx＝d2x，这就是凑微分，用d2x表示dx，使得d后面的系数与前面的一样。代入，得cos2xdx=cos2x・d2x=cos2xd2x=sin2x+C。
例2：求dx。
从基本积分公式中找到与此积分相近的公式：dx＝ln|x|+C，找到所求积分与公式的不同之处。要凑微分，通过求d(x+1)＝dx，有dx＝d(x+1)，代入，得dx=d(x+1)=ln|x+1|+C。
类似的，有dx=ln|x-1|+C。
例3：求dx。
在基本积分公式中，找到与此积分相近的公式：dx＝arctanx+C。把被积表达式与公式进行比较，要用这公式，先把常数4变成1，dx＝dx。但把常数4变成了1，仍然不能用公式，因为dx中x的系数与被积函数中x的系数不一样。要凑微分，先求x的微分，有d(x)=dx，所以有dx=2d(x)，代入，得dx=dx==arctanx+C。
例4：求dx。
从基本积分公式中找到与此积分相近的公式：
dx=arcsinx+C。
先把常数４变成１，dx＝dx，找到与公式中的不同之处，通过求d（x）＝dx，有dx＝2d(x)，代入，得dx＝dx=d（x）=arcsinx+C。
例5：求dx。
在基本积分公式中找到与此积分相近的公式：dx=xdx=-+C，由d(2x+1)＝2dx，dx＝d(2x+1)，从而有dx=・d（2x+1）=-+C。
对一些含有复合函数f［Φ(x)］的积分，要找准哪个函数是Φ(x)，凑微分，一般是通过直接求d［Φ(x)］，得出dx的表达式。
例6：求xedx。
这里e是x的函数，直接求x的微分，dx＝2xdx，有xdx＝dx，因而有xedx=e・d(x)=ed(x)=e+C。
有时，将被积函数先作适当变形，比较容易看出如何凑微分。
例７：求sin2xdx。
解法一：很明显，sin2x是2x的函数，由d2x＝2dx，dx＝d2x，代入，得sin2xdx=sin2x・d2x=sin2xd2x=-cos2x+C。
解法二：sin2x=2sinxcosx，dsinx=cosxdx，
sin2xdx=2sinxcosxdx=2sinxdsinx=sinx+C，
或dcosx=-sinxdx，sin2xdx=2sinxcosxdx=-2cosxdcosx=-cosx+C。
例8：求tanxdx。
这里要先将被积函数tanx变形为・sinx，再把看成是cosx函数，求dcosx＝-sinxdx，因而有sinxdx＝-dcosx，代入得tanxdx=・sinxdx=-dcosx=-ln|cosx|+C。
类似的，有cotxdx=ln|sinx|+C。
例9：求dx。
=（-），dx=（-）dx=(dx-dx)=（ln|x-1|-ln|x+1|）+C=ln+C。
例10：求cosxdx。
这里要用三角公式cosx=(1+cos2x)将被积函数进行降次，cosxdx=(1+cos2x)dx=dx+cos2xdx=x+sin2x+C。
类似的，有sinxdx＝x-sin2x+C。
例11：求dx。
==（x+2）］+1，所以dx=（x+2）］+1dx=（x+2）］+1d［(x+2)］=arctan(x+2)+C
利用凑微分法求不定积分，要熟悉基本积分公式，在此基础上，扩大基本积分公式的应用范围。我们经过一定量的练习，注意不断总结，能达到熟练应用，也就能比较快地判断出在什么情况下用凑微分法解题。
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