也谈结合实际使线性代数变得具体结合实际

时间：2018-12-26 03:33:45　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：线性代数是高等代数中的基础课之一，其主要特点是比较抽象，特别对于高职的学生而言难以接受和理解，怎么使学生很好地学好线性代数课程，是数学教师值得研究的课题。笔者针对线性代数过于抽象的问题，谈谈自己在教学过程中进行具体化、形象化的几种教学方法，以供同仁参考。
　　关键词：高等数学线性代数抽象具体
　　
　　高职数学中的线性代数是必学的基础课之一，学好线性代数可以为专业课程的学习打好基础，同时可以帮助提高逻辑思维能力。但由于线性代数理论的高度抽象性，加上高职学生的基础知识较差，学生对线性代数的学习比较困难。笔者在多年的教学实践中发现，在线性代数的教学过程中，可以从实际问题出发，在分析解决实际问题的过程中引入抽象的概念，利用由特殊到一般的教学方法，让抽象变得自然，降低学习难度，使学生加深对知识的理解和应用，激发学习兴趣。
　　
　　一、从问题出发引入抽象的概念
　　
　　在现实的世界中，问题是数学的心脏，是概念产生的背景，即知识发展的来源。从问题入手往往更加符合学生的认知结构，使学生感受到数学概念不是从帽子里凭空冒出的兔子，克服了“捏头去尾烧中段”的弊病，能很快激发学生的学习积极性。
　　例如，矩阵的乘法是矩阵理论中最基本的内容之一，授课时先讲一个引例：有两个工厂Ⅰ、Ⅱ同时生产甲、乙、丙、丁四种产品，假设某月的基本情况用矩阵表示如下，求该月这两个工厂的总利润分别为多少？
　　A=（a ），B=（b ），C=（c ）（i=1，2；k=1，2，3，4；j=1，2），
　　其中a 表示第i个工厂该月生产第k种商品的数量，b ，b 分别表示k种商品的单位价值和单位利润，c ，c 分别表示第i个工厂该月的总收入和总利润。通过三个矩阵的元素之间的关系，引入矩阵乘法的定义，非常自然。通过这个例子，学生不仅可以看到矩阵乘积的应用，而且加深了对矩阵乘法的理解。
　　又如，在讲线性相关与线性无关时，先讨论方程个数真假的问题。如下面的方程组：
　　x+y+z=0……（1）2x+y+5z=0……（2）3x+2y+6z=0……（3）
　　对于上述方程组，有几个方程呢？这个问题看起来很容易：3个方程！但是，容易看出方程（3）可以由方程（1），（2）相加得到，因此将该方程删去，由方程（1），（2）组成的方程组与原方程组同解。这就说明方程（3）是多余的，所以3个方程的个数有“水分”。有“水分”就意味着方程个数“靠不住”，所以应该进行“打假”，将多余的方程去掉。如果剩下的方程还有多余的，就再删去，将“打假”进行到底，直到剩下的方程没有一个是多余的，这时方程的个数才可以认为是“货真价实”的。剩下的这些方程线性无关，从而引出方程组的线性相关与线性无关的概念。而每个方程可由它的未知量系数构成的数组即向量惟一表示，进而得出向量的线性相关与线性无关的定义。
　　
　　二、将线性代数与几何有机结合
　　
　　线性代数与几何紧密相关，几何为线性代数中许多概念和理论提供了几何背景和几何解释，而线性代数又为几何问题提供了有效的解决方法。在教学中，如果能够融入几何背景的理解，进行几何直观教学，可以帮助学生降低数学概念、性质、定理等的理解难度，同时帮助学生了解他们的相关背景，使学生在形和数的和谐统一中体会到概念、性质、定理的内涵，培养学生应用定理分析问题的能力，从而激发学生的学习兴趣。
　　例如，对n阶行列式的定义，学生难以接受和理解，如果跟几何结合起来，就容易得多。对于2阶行列式a a a ，a ，其实就是以向量a =（a ，a ），a =（a ，a ）为边的平行四边形的有向面积；当平行四边形是由沿a 逆时针方向转到a 形成时，面积为正；而当平行四边形是由沿a 顺时针方向转到a 形成时，面积为负。同样3阶行列式的值就是3个列向量a ，a ，a 在空间形成的平行六面体的体积：当a ，a ，a 构成右手系时，体积为正；而当a ，a ，a 构成左手系时，体积为负。自然地我们可以引导学生推出，n阶行列式就是n个n维向量构成的平行多面体的有向体积。这样，通过几何直观的方法引入行列式，就使学生对行列式的概念看得见，摸得着，在头脑中留下深刻的印象，从而降低对概念理解的难度。
　　
　　三、与现实生活联系起来，加强感性认识
　　
　　硬性引入基本概念、性质及基本定理，剩下的就是强调计算，学生学完了也不知到底线性代数是干什么的，有什么用，这样的讲授无异于泯灭学生的创造性，削弱学生主动思考问题的能力。从生活的各个角落寻找活灵活现的例子，把线性代数知识和现实生活联系起来，让学生体会到吃喝玩乐都有数学，不仅可以丰富教学内容，激发学生的兴趣，还可以加深学生对新知识的理解。
　　结合实际生活中的例子解释行列式的性质，如：由一句玩笑话“把人都挤成照片了”，引申到维数的变化。人是三维的物体，体积不为0。挤成二维的照片，体积就变成了0。行列式也是这样：三阶行列式表示平行六面体的有向体积，如果其中有某两列相等，就是说平行六面体的三条相邻的棱中有两条重合，平行六面体退化成平面图形，也就是被“挤成照片”了，体积变成0。类似的，二阶行列式表示平行四边形的有向面积，如果两列相等，“平行四边形”的相邻两边重合，平行四边形退化为一条线段，面积为0。一般的，n阶行列式可以想象成一个n维立体的n维体积，如果它有某两列相等，“n维立体”退化为n-1维或者更低维数的图形，“n维体积”当然就等于0。这种讲课方法很形象，非常容易让学生接受，自然学习效果也会很好。
　　
　　四、由特殊到一般，大胆猜测，小心求证
　　
　　改变传统的先给出定理，然后证明，再应用定理的教学模式，由特殊到一般，有时学生更容易接受。例如，方程组什么时候无解，什么时候有解、惟一解、无穷多个解？先是通过几个具体的方程组求解，然后去猜测规律，再证明猜测，进而得到方程组有、无解的一般规律。由于结论是学生自己想出来的，当然容易理解，而且证明过程也“呼之欲出”。猜测是数学发现创造的关键环节，也是数学发现创造的方法和手段，培养学生的猜测能力和教会学生猜测方法，是培养学生创造性思维能力的重要方面和重要方法。在其建立过程中，数学也像其他在发展过程中的任何人类知识体系一样：我们必须先发现定理然后才能去证明它，我们应当先猜测到证明的思路然后才能作出这个证明。
　　在线性代数的教学过程中，将抽象的知识直观化、具体化、形象化，一步一步地引导学生，揭去它神秘的面纱，能有效提高学生对线性代数的学习兴趣和学习效率，重视线性代数知识的应用，培养学生应用线性代数知识解决实际问题的能力。
　　
　　参考文献：
　　［1］李尚志.从问题出发引入线性代数概念［J］.高等数学研究，2006.9.
　　［2］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数［M］.北京：北京高等教育出版社，1999.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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