矩阵初等变换在《线性代数》中的应用|线性代数矩阵及其初等变换题库

时间：2019-01-08 03:29:12　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：矩阵初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。本文总结了初等变换在求逆矩阵、矩阵的秩、向量组的秩，求解线性方程组，以及标准正交基等问题中的应用。
　　关键词：矩阵初等变换矩阵的逆向量组的秩
　　
　　矩阵初等变换起源于解线性方程组，是研究矩阵的一个非常重要的工具.除线性方程组外，还有大量各种各样的问题提出了矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的，表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的.这就使得矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.利用初等变换将矩阵A化为形状简单的矩阵B，通过B来探讨A的某些性质，是研究矩阵的常用方法.
　　矩阵的行（列）初等变换包括三种：1.交换矩阵的两行（列），简称为位置变换；2.将矩阵的某行（列）乘以一个非零常数，简称为倍法变换；3.矩阵的某行（列）加上另一行（列）的非零常数倍，简称为消法变换.根据变换的是行还是列分别叫初等行变换和初等列变换，统称为初等变换.
　　一、求逆矩阵
　　因为三种初等变换都不会改变一个方阵A的行列式的非零性，所以如果一个矩阵是方阵，我们可以通过看初等变换后的矩阵是否可逆来判断原矩阵是否可逆.将矩阵A和单位矩阵E拼成一个n行2n列的矩阵（A，E）=a a … a 10… 0a a … a 01… 0… … … … … … … …a a … a 00… 1，对矩阵（A，E）施行初等变换，当矩阵（A，E）的左半部分化为单位矩阵E时，右半部分就化为A.注意在用初等变换的方法求逆矩阵时必须是初等行变换，不能是初等列变换.另一种用伴随矩阵求逆矩阵的方法计算量较大且容易出现计算错误，相比之下用初等变换求逆矩阵的方法更为简单实用.
　　二、解矩阵方程
　　1.易知AX=B型的矩阵方程解为X=AB，又A（A，B）＝（E，AB）即对矩阵（A，B）作初等行变换，当把A化为E时，B就化为AB.
　　2.易知XA=B型的矩阵方程解为X=BA，又ABA=EBA即对矩阵AB作一系列初等列变换，当把A化为E时，B就化为BA.
　　三、求矩阵的秩、向量组的秩、极大线性无关组
　　把矩阵用初等行变换变成行阶梯型矩阵，行阶梯型矩阵中非零行的行数即为该矩阵的秩.向量组的秩即该向量组极大无关组所含向量的个数，而矩阵的秩等于其行向量的秩，也等于其列向量的秩，所以求向量组的秩即求矩阵的秩.
　　例：求下列向量组的一个极大无关组、秩.
　　α=（2，1，4，3），α=（-1，1，-6，6），α=（-1，-2，2，-9），α=（1，1，-2，7），α=（2，4，4，9）解：
　　（α，α，α，α，α）=2 -1 -1 1 211-2 1 44 -62 -2 43 6 -9 7 911-21 401-11 000 0 1-300 0 0 0故α，α，α为向量组的一个极大无关组，原向量组的秩为3.
　　四、求解线性方程组
　　把线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解.若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其解.
　　例：讨论线性方程组x+x+2x+3x=1x+3x+6x+x=33x-x-px+15x=3x-5x-10x+12x=t当p，t取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解?在方程组有无穷多解的情况下，求出一般解.
　　解：B=1 12311 36133 -1 -p 15 31 -5 -10 12 t11 2 3 101 2-1100-p+22 40003t+5
　　（1）当p≠2时，R（A）=R（B）=4，方程组有唯一解;
　　（2）当P=2时，有B1 1 2 3 10 1 2 -1 10 0 0 2 40 0 0 3 t+511231012-11000 12000 0 t-1.
　　当t≠1时，R（A）=3＜R（B）=4，方程组无解;
　　当t=1时，R（A）=R（B）=3，方程组有无穷多解，且B1 0 0 0 -80 1 2 030 0 0 120 0 0 00与原方程组同解的方程组为
　　x=-8x+2x=3x=2.令x=k，故原方程组的通解为xxxx+k 0-2 1 0+-8 3 0 2.
　　五、求标准正交基
　　利用Schmidt方法，可以从欧氏空间的任意一个基出发，求出一个正交基，再单位化，求出一个标准正交基.但正交化的过程计算繁琐.其实利用矩阵的初等变换，也可以从欧氏空间的任意一个基求标准正交基.
　　本文介绍了矩阵的初等变换在求矩阵的逆，矩阵的秩，向量组的秩，向量组的极大线性无关组、解线性方程组等问题中的应用，并给出了部分例子.实质上，利用矩阵的初等变换还可以得到解决求过渡矩阵、特征值与特征向量、二次型的标准型等问题的有效方法.
　　
　　参考文献：
　　［1］同济大学应用数学系编著.线性代数（4版）.北京：高等教育出版社，2003.
　　［2］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（2版）.北京：高等教育出版社，1998.
　　［3］刘显凤.矩阵的初等变换在线性代数中的应用.科技信息，2010.
　　［4］倪臣敏，孙逊.矩阵的初等变换在《线性代数》中的应用.四川教育学院学报，2008.
　　注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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