• 学前教育
  • 小学学习
  • 初中学习
  • 高中学习
  • 语文学习
  • 数学学习
  • 英语学习
  • 作文范文
  • 文科资料
  • 理科资料
  • 当前位置: 雅意学习网 > 文科资料 > 正文

    【高等数学概念形成的心理过程和教学方法研究】教学方法概念

    时间:2018-12-23 19:43:41 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      摘 要:高等数学概念形成有两个重要的心理过程:一是从概念意象抽象出概念的规定;二是使概念抽象的规定在思维过程中具体地再现。笔者对高等数学概念教学有两点心理学建议:心理干扰的恰当运用,整体教学借助概念的直观性。
      关键词:概念意象 心理干扰 整体教学
      
      一、高等数学概念形成的心理过程
      
      数学概念是构筑数学理论的基石,是数学思想方法的载体。高等数学是由概念―性质(公式)―范例组成的数学系统,概念是源头,性质(公式)都是由它衍生出来的,因而高等数学概念的教学在整个高等数学的教学体系中显得极其重要。高等数学概念与初等数学概念相比更加抽象,往往都以运动的面貌出现,是动态的产物,因而高等数学概念的学习者往往需要做出思维模式上的调整。这就要求我们在高等数学概念教学过程中不仅要重视概念的实际背景与学生已有的知识经验,更要注重学生在概念形成中的心理过程,解决抽象的高等数学概念给他们带来的心理困惑。
      在教师指导下数学概念获得的过程一般分为以下六个步骤[1]:
      (1)观察一组实例,从中抽取共性;
      (2)下定义,分析含义,了解概念的本质属性;
      (3)举正、反例,弄清该概念的内涵和外延;
      (4)将该概念与其他有关概念进行联系和分化;
      (5)重新描述概念的意义;
      (6)运用概念,使之变成思维中的具体。
      通过对上六个步骤心理过程的分析,我们可以把学生数学概念的形成概括为两个心理阶段:一是从正确完整的概念意象抽象出概念的规定(这里的概念意象也就是在学生的头脑中和所要学习的概念名称相联系的思维图像以及描述它们所有特征的性质);二是使概念抽象的规定在思维过程中导致具体的再现。因而教师在概念教学中主要把握就是这两个阶段的基本要求:如何让学生产生正确完整的高等数学的概念意象,并从中抽象出高等数学概念的内涵,以及如何使这一概念成为学生思维中的具体,即将概念的形象化。
      1.从正确完整的概念意象到抽象的数学概念
      一般常识性的概念的形成都需要一定数量的经验,从对具有某种共同性质的实例中概括、抽象,然后再分类过程中获得。数学概念更加抽象,但仍然是一种处理实际思维的方法。没有实际思维材料,就没有思维运算的对象,运算没有对象,抽象就没有基础。从心理本质上讲,数学概念学习中,仍应以实例为出发点,这是运算思维的要求。所以数学概念应通过恰当的实例进行组织整理、分析归纳、分类抽象来教学。实际上,这些引例在概念学习之前不仅介绍了基本概念产生的客观背景及其在解决实际问题中的意义,也有利于教师后面对所学概念给出几何意义、物理解释以及其他联系实际的解释,还让学生感受到数学概念不是凭空设想出来的,而是来源于实际,根据实际需要建立的。更重要的是从这些引例中得到的概念意象――这些在学生的头脑中具有的和所要学习的概念名称相联系的思维图像以及描述它们所有特征的性质,是抽象得出所要学习的概念的基础前提。
      这里我们要强调注意在学生头脑中所形成的概念意象的正确性和完整性。不正确和不全面的概念意象可以影响学生头脑中形成的数学概念的准确性和全面性。
      在微分学中学习函数图形的切线这一概念时,我们给出了函数的图像,结果发现:80%的学生正确地认为可以在原点画出一条切线,但是能正确画出切线的学生数竟低于20%。调查表明,90%以上学生反思在他们形成切线概念的概念意象中,函数图像除了极大值点和极小值点外,其他的点不存在水平的切线。
      另外不恰当的概念意象还会严重影响学生头脑中形式化理论的发展。以极限这一概念为例,Robert(1982)分析过一系列学生用于处理极限问题的思维模型[2],这些模型被看作是概念意象的很好的例证。Cornu(1981)和Sierpinska(1985)曾把学生学习极限概念的演变作为一个克服障碍的过程,并提出了五类障碍,其中最重要的就是恐惧无限,其结果就是不少学生不把无限作为一个专门的数学运算,或干脆使用不完全归纳法求得极限。Wheeler和Martin(1988)也曾研究得出,学生关于无限概念和他们头脑中所蕴含的概念意象明显不一致[2]。
      2.从抽象的规定到思维中的具体
      从正确完整的概念意象抽象得到的数学概念是学生掌握数学概念的第一个重要的心理过程,概念是否得到正确掌握还要检验概念的抽象规定是否能变成学生思维中的具体,也就是将概念的形象化能力。
      比如在学习导数和微积分的概念时,学生往往有一种强烈的心理倾向,就是将这些内容化为代数运算,而避免图像和几何意象,求函数的导数和微积分的“大运动量”的强化运算也使得学生头脑中形成的关于导数和微积分的概念缺乏形象化,影响对数学概念的真正理解和运用。
      例如讨论f(x,y)=2x+4y+y ( +x )的可微性时,90%以上的学生立刻计算f的偏导数,而不是观察表达式的结构。其原因就是学生在一个纯粹算法的水平上理解了微分的概念,并没有把微分理解为逼近,也没有把它作为函数。
      又如学生在学习积分时,往往是把积分计算作为求原函数,背诵记忆积分公式。他们能很熟练地写出某个函数的原函数,但让他们解决下列一个问题时,几乎没有学生认识到这是个典型的积分问题。所举例的问题是这样的:求放在一条直线上的一根均匀的给定长度的细棍与位于该直线上的一个质点之间的引力。
      产生这些结果的原因有两个:由于对函数概念理解不全面,学生不能把微分和积分看作是函数;以及微分和积分与他们头脑中的函数的意象不一致。归根到底就是学生对函数、微分、积分等这些概念的形象化的缺乏,使得这些概念抽象的规定不能转化为思维中的具体。
      
      二、高等数学概念教学方法的心理学建议
      
      1.注意心理干扰的作用。
      在以上分析的概念形成的两个心理阶段里,无论是为了揭示概念的内涵还是弄清概念的外延,在所出现的实际例子中的一些与概念本质无关的性质,会对概念的建立起到心理干扰的作用。要注意的是,并不是所有的心理干扰都是有用或都是无用的。在概念形成的第一个阶段,为了揭示概念的内涵,教学上应当注意降低无关性质的心理干扰,使概念的本质内涵清楚地体现出来,让学生不致被无关细节迷惑。而当概念的定义抽象提取出以后,在第二阶段为了让学生搞清概念的外延,这时增大干扰能训练学生从较难的实例中分离出概念性质,以减少他们对教师的依赖。
      2.建立概念体系,注意概念的整体教学。
      “格式塔”心理学认为,人的知觉、行为和经验具有整体性,并且总体大于部分和。皮亚杰提出了整体心理结构的“构建”,认为人的认识活动总是要形成整体的心理结构,这种心理的整体结构使人的思想更加完善,并且是获得更高知识的有效工具。数学概念也有类似的整体结构的性质。每一个概念总是概念结构层次中的一个成分,与其它概念存在着包含、从属或并列关系。因此对数学概念的理解,从心理学上可解释为要求将它同化到一个适当的概念体系中去,从它与其它概念的关系中理解。
      数学概念学习中的整体性要求我们不能按照概念获得的先后次序单纯积累知识,也不应该根据数学本身的逻辑演绎体系编排概念的整体。数学概念之间往往是“相辅相成”的关系,而非“一脉相承”的关系。不能只靠前面的概念来理解后面的概念,后面的概念同样能帮助理解前面的概念。比如,微积分中拉格朗日定理可以推得柯西定理,柯西定理又可推得泰勒公式。当我们跨越式地回头看,又可发现拉格朗日定理是泰勒公式的特例。这样关系的揭示,使得学习者对已有的概念不断更新、改造、组织、整理,形成有序整体,从整体内部进行正逆向、交叉、跳跃式的联系,从总体中认识局部的、孤立的概念之间的内部联系,以抓住本质属性。
      概念的这一整体式教学方式,要求教师在教学中应当采用适当的、能包括较长期教学任务的整体性手段来加强教学。在知识复习中改变知识综合的过程,调处“重述知识、强化联系”的老模式,使学生能有一个自己组织和更新理解已有概念的过程。这样的整体式的教学方法比题海式训练的效益高,学生的记忆负担也轻。
      3.合理借助概念的直观性。
      高等数学是在代数法与几何法两者密切结合的基础上发展起来的[3],具有几何直观的优势,我们在概念的引入、形成、理解和应用时中应当合理地借助它的直观性。这符合我们在上面分析概念形成的两个心理阶段中所提出的要求,无论是选择和运用的概念意象,还是思维中的具体,都要求将概念直观化。如流速场中的散度这个概念刻画的是一个点是否为源,以及源的正负与大小。在电场中,电位移向量的散度表示在一个点是否存在电荷,电荷的正负以及电量的大小,与通量相比较,同量反映的是全局性态,而散度表示的是一个点处的性态。好比在一个公司里,通亮相当于整个公司的经营结果,而散度相当于每个员工的工作结果。这样的直观性的类比使学生对散度的概念变得很清晰,也为学生更好地理解高斯公式的物理涵义铺平了道路。
      
      参考文献:
      [1]张奠宇,唐瑞芬,刘鸿坤.数学教育学[M].南昌:江西教育出版社,1991.
      [2]唐瑞芬,李士�.数学教育评价研究[M].上海:上海教育出版社,1995.
      [3]毛京中.高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报,2003,(2):83-86.
      
      注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
    本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文

    • 文学百科
    • 故事大全
    • 优美句子
    • 范文
    • 美文
    • 散文
    • 小说文章