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    向量法与立体几何 立体几何中的向量方法

    时间:2018-12-23 19:39:02 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      摘 要:向量法在立几解题方法中具有显著的特点、固定的思维模式,在高考中具有突出的地位与作用,因此渗透向量法的思想,对于高三学生尤为重要。   关键词:向量法 特点 思维模式 应用
      
      随着全国新课改普遍推开,新教材大面积的推广使用,高考指向在知识网络交汇点处命题的思路,越来越凸现向量这一知识点重要性,特别是近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度,直接或间接考察向量的份量逐渐加大,已成为了高考命题的必考点、热点,成为联系三角、立体几何、解析几何的纽带,其工具性作用也在日益更加凸显。本文仅就立体几何中使用的向量法浅谈它的作用。
      
      一、向量解题的特点
      
      向量具有几何式(有向线段)和代数式(坐标表示)两种表示形式,几何上的垂直与平行均可以转化为向量的垂直与平行,即转化到向量运算上,实现几何空间的几何结构数量化,以算代证。向量的坐标运算正体现了数形结合的思想。
      利用向量法处理几何问题具有很强的模式性,以向量为工具,可以“机械有效”地解决立体几何问题;在立体几何的解答过程中,利用空间向量的观念和运算求解立体几何问题可以将严密抽象的逻辑分析和论证转换成普通的代数运算,具有突出的简化作用。
      
      解题分析:第一问主要考查立体几何中线线垂直的证明,运用转化思想,作辅助线将线线垂直转化为线面垂直的证明;第二问主要是立体几何中的一类探究性问题。如果考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化,纯用几何知识求解,将会显得繁琐复杂,也不容易得到正确的结果。因此本题的命题的意图就是考查学生对立体几何的图形的解读能力和灵活选用恰当方法、高效解题的思维能力。(在实际教学中,运用多媒体展现这一解法,分析这一解法的优缺点)
      
      
      二、向量法解题的思维模式
      
      用向量只是证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:
      1.建立立体图形与空间向量的联系,利用空间向量或坐标表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题。特别需要指出:首先要正确合理地空间直角坐标系,(在以正方体、长方体、直棱柱、正棱锥为背景的问题中,常常建系解决问题,应注意总结恰当建系的方法)向量的坐标形式常用于证明平行、垂直问题,向量的数量积常用于求角和距离等。
      2.通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系。
      3.根据运算结果的几何意义来解释相关问题。
      例如(2007湖北高考・理・18题)如图,在三棱锥V-ABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,
      (Ⅰ)求证:平面VAB⊥平面VCD;
      (Ⅱ)当角θ变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围。
      分析:本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识,考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力。通过对本题的阅读,学生很容易找到建立空间直角坐标系的方法,确定各点的坐标,从而将本题的问题转化为直线的方向向量与平面的法向量的计算上来,突破了传统立体几何的“作、证、求”思想方法,避免较为复杂的辅助线做法。
      
      反思:1.本题建系的方法并不唯一,还有很多方法,应注意总结恰当建系的方法,问题成功解决,是和坐标系的选择无关的,所以向量法证几何题明显优越于其他方法;
      
      =0。以上三个公式,是利用向量解决立体几何问题的主要理论依据。
      3.用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何定理。
      通过本文两个例题的研究,我们可以发现:用向量法来解决中学几何问题,克服了综合证法常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点,以算代证,数形结合,因而使解题思路更加清晰、简捷,解法顺理成章。
      纵观2007年全国各地高考立几综合题,证明空间平行垂直关系以及求夹角、距离是高考立体几何题的重点,而向量法在众多方法中显得尤为突出,因而在高三立体几何复习教学中不仅要立足高考,夯实基础,加强训练,不断提高学生的解题能力,更应该在解题的方法上多探索,尤其是向量法一定要训练到位,提高立体几何综合题的解题效率,为2008年高考打下坚实的基础。
      
      注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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