[浅析抽象函数概念教学] 抽象函数概念
时间：2018-12-23 19:39:06 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
抽象函数通常指一类没有给出具体解析式的函数，其概念是非常简单的形式定义，它的意象表征抽象而又比较灵活，学生理解有相当难度，很难明确概念的内涵，并对概念的本质属性准确揭示。而抽象概念学习是整个抽象函数的基础，概念不清就谈不上进一步讨论抽象函数的其它问题。如何设计抽象函数的概念教学就成为函数教学的当务之急。下面本文对抽象函数的概念教学进行了初步探究。
一、 从函数概念的本质属性上把握
对于函数，大多数学生都在头脑中存在着非本质属性泛化的错误观念：“有完整数学表达式的才是函数。”这也是他们不能理解抽象函数的根本原因。其实不然，他们并没有真正掌握函数的本质特征。什么是函数的本质属性？ “按照某种对应关系f，非空数集中的每一个元素x，在非空数集B中都有唯一的元素与它相对应，这种从A到的B对应是函数”。其概念有两个要点：一是数集A中的每一个元素在B中都有对应的元素；二是数集A中每一个元素的对应元素只有一个。满足这两个条件的对应关系才是函数，这就是函数的本质属性，也是抽象函数的内涵。这意味着，如果能够认识到函数的本质特征，是函数不变的性质，除此之外，一切都是可变的，那么，表达形式对于函数来说就是无关紧要的了。实质上，抽象函数y=f(x)，是指对应关系f：x→f(x)，其中x是自变量，定义域中的元素，f(x)是值域中的元素，意即对应关系“f”把定义域中的元素“x”变成了值域中的元素“f(x)”。因此，从本质上讲，抽象函数与其它的函数，尤其是具体函数，是没有差别的，我们也就可以借助于具体函数来讨论抽象函数了。
二、 从函数的符号表示上把握
形式不是函数的本质，符号当然也不是。而解析式表示的函数，其自变量可以是任意字母的，自变量的存在形式也可以任意。那么，没有解析式的函数，其自变量的存在形式可以任意，但自变量是唯一的。例如，函数y=f(x)，x∈R表示以x为自变量，对应关系为f的函数。那么y=f(2x-1)的自变量是x还是2x-1？我们不妨假设y=f(x)是一个具体函数f(x)=x+1，则f(2x-1)=2x，即y=2x。现在就无需争辩了，自变量当然是x，而2x-1仅仅是一个中间量。一般地说，一个含x的函数式，无论它以什么样的形式给出，其自变量都是x，而不是x的某一代数形式。明确了抽象函数的自变量，那么有关于定义域的问题，比如：已知函数y=f(x)的定义域为[1，2]，求函数y=f(2x-1)的定义域，就迎刃而解了。但是，下面这个问题：“已知函数y=f(2x-1)的定义域为[1，2]，求函数y=f(x)的定义域。”解决时需要慎重一些。当然，如果搞清了函数的自变量，问题就不是问题了。根据前面的讨论，函数y=f(2x-1)中，自变量是x，而2x-1仅仅是一个中间量，因此，函数y=f(2x-1)的定义域为[1，2]，即x∈ [1，2]，得2x-1∈[1，3]。而函数y=f(x)中的“x”相当于y=f(2x-1)中的“2x-1”这个整体，故函数y=f(x)的定义域为[1，3]。
三、 从函数的图像及某些性质上把握
奇偶性是函数的重要性质之一，数形结合是重要的数学思想方法。运用函数图像研究抽象函数的对称性，你会有意想不到的收获。例如，设函数y=f(2x-1)是一个偶函数，则函数y=f(x)的图像的对称轴是什么？有些学生会误认为对称轴还是y轴。产生此误解的原因是前面的问题还没有搞清楚，误认“2x-1”是自变量，从而导致错误。实际上应该这样解答：因为y=f(2x-1)是偶函数，则-f(2x-1)=f(2x-1)，即有f(2x-1)=f[-(2x-1)-2]，令2x-1=t，即有f(t)=f(-t-2)，从而可知y=f(x)的图像的对称轴是直线x=1。
如果从函数图像变换来看也可以这样解：
图像变换如下：函数y=f(x)图像 函数y=f(2x)图像 函数y=f[2(x-
四、从函数的反函数的角度上把握
反函数与原函数有着密切的关系，深刻理解二者之间的联系与区别能加深对抽象函数的二重性的认识，提升概念
总而言之，抽象函数的概念教学不能仅仅停留在简单的语义表述上，而应淡化形式，注重实质。抽象函数概念的理解应是多维度、多因素的。抽象函数仅仅是函数中的一个概念，应从整个函数概念网络来理解，引导学生向相关知识迁移，重视概念的表层知识与对象结构诸种概念中蕴含的数学思想，培养概念理解的层次观，逐步完善对概念的认识，提高数学素养。
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