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    【与三角形有关的角的几个特殊类型】特殊三角形

    时间:2019-02-08 03:13:16 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      三角形的内角和及外角对于求角度的问题可以说是必要的工具,但有时我们可以由这些来推导一些特殊的关系,利用这些关系就可以使一些问题的解决变得很简单.下面,我就来介绍一些特殊的应用.
      一、“塔形”
      如图所示的“ ”字形,我们可称其为“塔形”,其存在一个等式关系:∠1+∠2=∠3+∠4,∵由三角形内角和知,∠5+∠1+∠2=180°,∠5+∠3+∠4=180°,∴可知∠1+∠2=∠3+∠4.这种类型的应用在求有关角度时可以使解题过程更加便捷.
      例1:如图,已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:DE//BC.
      证明:因为∠1+∠2=∠3+∠4(证明过程如上),又因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以可知∠1=∠3,所以DE//BC(同位角相等,两直线平行).
      例2:图同上,已知,∠3=50°,∠4=60°,求∠BDE+∠CED的度数.
      解:∠BDE与∠1互补,∠CED与∠2互补,∴∠BDE+∠CED=(180°-∠1)+(180°-∠2)=360°-(∠1+∠2),∵∠1+∠2=∠3+∠4=110°,∴∠BDE+∠CED=360°-110°=250°.
      二、“8”字形
      如下图所示的“ ”字形,其也存在着一个等式关系:∠1+∠2=∠3+∠4.∵由三角形内角和知,∠1+∠2+∠5=180°,∠3+∠4+∠6=180°,又∵∠5=∠6(对顶角相等),∴∠1+∠2=∠3+∠4.
      例3:如下图,已知AB⊥BD,AC⊥CD,∠A=45°,则∠D的度数为()
      (A)45°(B)55°
      (C)65°(D)35°
      解:∵∠A+∠B=∠D+∠C,∠B=∠C,∴∠D=∠A,即得结论.故选A.
      例4:如下图,△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC,BD⊥AE的延长线于D.若∠1=24°,则∠EAB等于()
      (A)66°(B)33°
      (C)24°(D)12°
      解:由8字形的特征可知,∠1+∠D=∠CAE+∠C,∵∠C=∠D,∴∠1=∠CAE.又∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠EAB,∴∠EAB=∠1=24°.故选C.
      说明:在以上两种类型中,都是利用“若两个三角形有一组内角相等(或为公共角),则这两个三角形的其余内角的和相等”,这是三角形内角和的一种推广和应用.
      除此之外,三角形外角也有着一些特殊的应用.
      三、“尖顶形”
      如图1所示,其也存在着如下等式:∠D=∠A+∠B+∠C,其证明过程如下:连接AD并延长到E,∵∠BDE是△ABD的外角,∴∠BDE=∠B+∠BAD,同理,∠CDE=∠C+∠CAE,又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠BAD)+(∠C+∠CAE)=∠A+∠B+∠C,结论得证.
      例5:(2008年吉林省吉林市中考)如图,点D、B、C在同一直线上,∠A=60°,∠C=50°,∠D=25°,则∠1=度.
      解:由尖顶形特征可知,∠AED=∠A+∠C+∠D=135°,而∠1与∠AED互补,∴∠1=180°-∠AED=45°.
      例6:如下图,若P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点,求∠BPC-∠A的值.
      解:在△ABC中,有∠A+∠B+∠C=180°,
      所以∠A+∠B+∠C=90°,
      则∠A=90°-∠B-∠C.
      又因为BP,CP分别是∠B和∠C的角平分线,
      所以有∠B=∠ABP,∠C=∠ACP,
      所以∠A=90°-∠ABP-∠ACP.
      又可知∠BPC=∠ABP+∠A+∠ACP(证明过程如上),
      所以∠BPC-∠A=(∠ABP+∠A+∠ACP)-(90°-∠ABP-∠ACP)
      =2∠ABP+2∠ACP+∠A-90°=∠B+∠C+∠A-90°
      =180°-90°=90°.
      说明:在此题的解题中还用到了三角形内角和公式的一个变形,∠A+∠B+∠C=90°,这在解决三角形有关角的问题时会有很大的帮助,希望同学们能学会使用.
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