圆锥曲线的解题技巧|数学圆锥曲线解题技巧

时间：2019-02-03 03:18:38　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：作者从知识准备、常见问题出发，论述了圆锥曲线的利用几何图形、曲线方程、韦达定理等解题策略。　　关键词：圆锥曲线题型解题策略　　　　一、知识准备
　　基本概念；基本公式；求直线方程的方法；在解决直线与圆的位置关系问题中，运用圆的几何性质；了解线性规划的意义及简单应用；熟悉圆锥曲线中基本量的计算；掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法；掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法；能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题。
　　二、题型罗列
　　1.中点弦问题
　　具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为（x，y），（x，y），代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
　　例：给定双曲线x-=1，过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P和P，求线段PP的中点P的轨迹方程。
　　2.焦点三角形问题
　　椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F、F构成的三角形问题，常用正、余弦定理。
　　例：设P（x，y）为椭圆+=1上任一点，F（-c，0），F（c，0）为焦点，∠PFF=α，∠PFF=β。
　　（1）求证：离心率e=；
　　（2）求|PF|+|PF|的最值。
　　3.直线与圆锥曲线位置关系问题
　　直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。
　　例：抛物线方程y=p（x+1）（p＞0），直线x+y=t与x轴的交点在抛物线准线的右边。
　　（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点。
　　（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f（t）的表达式。
　　4.圆锥曲线的有关最值问题
　　圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图像性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。下题中的（1），可先设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围。对于（2），首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即“最值问题，函数思想”。
　　例：已知抛物线y=2px（p＞0），过M（a，0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p，（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
　　5.求曲线的方程问题
　　（1）曲线的形状已知，这类问题一般可用待定系数法解决。
　　例：已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
　　（2）曲线的形状未知，求轨迹方程。
　　例：已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x+y=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0），求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
　　6.存在两点关于直线对称问题
　　在曲线上两点关于某直线对称问题，可按如下方法解题：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。当然也可利用韦达定理并结合判别式来解决。
　　例：已知椭圆C的方程+=1，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆C上有不同两点关于直线对称。
　　7.两线段垂直问题
　　圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k•k==-1来处理或用向量的坐标运算来处理。
　　例:已知直线l的斜率为k，且过点P（-2，0），抛物线C:y=4（x+1），直线l与抛物线C有两个不同的交点。（1）求k的取值范围；（2）直线l的倾斜角θ为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
　　三、解题策略
　　事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明。
　　1.充分利用几何图形的策略
　　解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，往往能减少计算量。
　　例：设直线3x+4y+m=0与圆x+y+x-2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值。
　　2.充分利用韦达定理的策略
　　我们经常设出弦的端点坐标但不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
　　例：已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+1相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=，求此椭圆方程。
　　3.充分利用曲线方程的策略
　　例：求经过两已知圆C:x+y-4x+2y=0和C:x+y-2y-4=0的交点，且圆心在直线l：2x+4y-1=0上的圆的方程。
　　4.充分利用椭圆的参数方程的策略
　　椭圆的参数方程涉及正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题。这也就是我们常说的三角代换法。
　　例：P为椭圆+=1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。
　　5.线段长的几种简便计算策略
　　（1）充分利用现成结果，减少运算过程。
　　求直线与圆锥曲线相交的弦AB长：把直线方程y=kx+b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax+bx+c=0的方程，方程的两根设为x，x，判别式为△，则|AB|=•|x-x|=•，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。
　　例：求直线x-y+1=0被椭圆x+4y=16所截得的线段AB的长。
　　（2）结合图形的特殊位置关系，减少运算。
　　在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。
　　例：F、F是椭圆+=1的两个焦点，AB是经过F的弦，若|AB|=8，求|FA|+|FB|的值。
　　（3）利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离。
　　例：点A（3，2）为定点，点F是抛物线y=4x的焦点，点P在抛物线y=4x上移动，若|PA|+|PF|取得最小值，求点P的坐标。
　　
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