数学分析第四版答案pdf [在数学分析课程的概念教学中渗透数学建模思想]
时间：2019-01-07 03:27:53 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 本文阐述了在数学分析课程的教学中，在教授极限、导数、不定积分、定积分等概念时，渗透数学建模的思想，建立概念模型，使学生理解概念模型构建过程的教学方法。 关键词： 数学分析课程 概念教学 数学建模思想
数学建模，是在实验、观察和分析的基础上，对实际问题的主要方面作出合理的简化与假设；确定变量和参数；应用数学的语言和方法将实际问题形成一个明确的数学问题；用数学理论、方法对该问题求解析解，或用数值计算方法、计算机编程求近似解；检验求解的结果是否符合实际，这样的过程多次反复进行，直到较好地解决问题，得到用字母、数学及其他数学符号建立起来的等式或不等式，以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的一个抽象的、简化的数学结构表达式。这就是数学建模的全过程，所得到的数学结构表达式就是一个数学模型。
把数学建模思想方法融入数学分析课程教学是培养学生创新能力和实践能力的一个有效途径。而在极限、导数、定积分等概念的教学中渗透数学建模的思想，可使学生更好地掌握概念。
1.建立极限模型，形成极限的概念。
1.1建立数列极限模型，形成数列极限的概念。
在实际例子中，我们能看到各种各样的数列。
（1）《庄子》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”顺次把每天截取的长度列出，可得数列，该数列的通项随着n的无限增大而无限地接近于0。
（2）细胞个数随着分裂次数变化，可得数列2，该数列的通项2随着n的无限增大并没有无限地接近于任何常数。
数列虽然形式各异，但有一共同的特性：要么能够和一个常数无限接近，要么不能。这个特性可以初步描述为：对于一个给定的数列，如果存在着一个常数A，数列的值和常数A能够无限接近，就人为地规定A是该数列的极限（或称数列收敛于A）；否则，认为该数列没有极限（发散）。这就是说，当n充分大时，数列的通项a与常数a之差的绝对值可以任意小，这称a收敛于a，否则称a发散。把“充分大”与“可以任意小”用数学语言表达，就得到数列极限的模型：
x=a?圳?坌ε＞0，?埚正整数N，当n＞N时，有|x-a|＜ε.
即x=a的定义为：?坌ε＞0，?埚正整数N，当n＞N时，有|x-a|＜ε.
1.2建立函数极限模型，形成函数极限的概念。
观察函数f（x）=x，不难看出，如果自变量x趋于x=2时，相应的函数值f（x）有一个总趋势：函数值f（x）无限地趋近于4，则称x趋于2时函数的极限等于4，记为：x=4.同理x=9，x=25.
再观察其他函数在某些点的情况，经过抽象概括，得出函数y=f（x），如果自变量x趋于x时，相应的函数值f（x）有一个总趋势：函数值f（x）无限地趋近于某个常数A，则称x趋于x时函数的极限等于A，记为：f（x）=A.
把函数值f（x）无限地趋近于某个常数A表达为：函数值f（x）与常数a之差的绝对值可以任意小，就建立起函数极限的模型：
f（x）=A?圳?坌ε＞0，?埚δ＞0，当0＜|x-x|＜δ时，有|f（x）-A|＜ε.
随之形成函数极限的概念。
2.利用函数极限，建立函数在一点处的导数模型，形成导数的概念。
考查以下两个问题：
（1）已知一个质点作直线运动，位置函数为s=f（t），求t时刻的瞬时速度.
在时间段［t，t］（或［t，t］）上质点的平均速度为：==.
若极限存在，则在时刻t质点的瞬时速度为：v=.
（2）切线斜率问题：
如图，设M（x，y），N（x，y）为曲线y=f（x）上的点.
割线MN的斜率为：tanφ==.
切线MT的斜率为：k=tanα=.
上述问题，最终都归结于讨论形如的极限，这就是导数的数学模型.我们进一步会发现在计算物质比热、电流强度、线密度等物理量时，都可以用这个导数模型。
再经过抽象概括，得出函数在一点处的导数的定义：设y=f（x）在x的某个邻域内有定义，若存在，则称该极限为y=f（x）在x的导数，记作f′（x）或|，即
f′（x）=.
导数有下面等价定义形式：f′（x）=.
3.利用导数，建立全体原函数的模型，形成不定积分的概念。
设函数f（x）与F（x）在区间I上有定义，若F′（x）=f（x），x∈I，则称F（x）为f（x）在区间I上的一个原函数。
-cos2x，-cos2x+1，sinx，-cosx等都是sin2x在R上的原函数。仔细比较我们就会发现，它们两两之间都只相差一个常数。一般的，若F（x）=-cos2x+C，其中C为任意常数，则F′（x）=sin2x，可见sin2x的原函数有无穷多个。我们用符号?蘩sin2xdx表示sin2x的全体原函数，即?蘩sin2xdx是sin2x的全体原函数的模型。
一般的，函数f（x）在区间I上的全体原函数记作?蘩f（x）dx，并称之为f（x）在I上的不定积分。
若F（x）是f（x）的一个原函数，则f（x）的不定积分是一个函数族{F（x）+C}，其中C是任意常数。为方便起见，写作
?蘩f（x）dx=F（x）+C.
此时称C为积分常数，它可取任一实数值。由以上的定义可知，不定积分的几何意义是：若F（x）是f（x）的一个原函数，则称y=F（x）的图像为f（x）的一条积分曲线。于是，f（x）的不定积分在几何上表示f（x）的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一载积分曲线组成的曲线族，曲线f（x）+c和F（x）+c在点x有相同切线斜率f（x）。如下图：
4.利用积分和的极限，建立定积分的模型，形成定积分的概念。
先讨论曲边梯形的面积问题：
（1）分割
在区间［a，b］中任意插入若干个分点：a=x＜x＜x＜…＜x＜x=b
把［a，b］分成n个小区间：［x，x］，［x，x］，…，［x，x］
（2）求和
在每个小区间［x，x］上任取一点ξ，记△x=x-x，
则曲边梯形的面积A≈f（ξ）△x
（3）取极限
记λ=max{△x，△x，…，△x}，则A=f（ξ）△x.
再讨论变速直线运动的路程问题：设某物体作直线运动的速度为v=v（t），求物体在时间［T，T］内所经过的路程。类似的：
（１）分割
在区间［T，T］中任意插入若干个分点：
T=t＜t＜t＜…＜t＜t=T
把［T，T］分成n个小区间：
［t，t］，［t，t］，…，［t，t］
（2）求和
在每个小区间［t，t］上任取一点τ，记Δt=t-t，则路程s≈f（τ）△t.
（3）取极限
记λ=max{△t，△t，…，△t}，则s=f（τ）△t.
以上两个问题的解决过程，都有分割区间、在每个小区间上任取一点、求和、取极限，而且每一个步骤的做法都相同。这个过程，实际上就是建立了一个数学模型即定积分模型，它的定义为：
设f（x）是定义在［a，b］上的有界函数，在［a，b］中插入若干个分点，它们依次为
a=x＜x＜x＜…＜x＜x=b
这些点把［a，b］分成n个小区间：［x，x］，［x，x］，…，［x，x］.
在每个小区间［x，x］上任取一点ξ，记△x=x-x，λ=max{△x，△x，…，△x}，若极限f（ξ）△x存在，则称该极限为f（x）在区间［a，b］上的定积分，且说f（x）在区间［a，b］上可积，记为
?蘩f（x）dx=f（ξ）△x
类似的，利用级数部分和的极限，可以建立级数的和的模型，并形成级数的和的概念。此外，在实数的连续性、反常积分、重积分等概念的教学中，通过建立相应的概念模型，学生在数学建模的过程中能加深对概念的理解，并能提高应用数学知识解决实际问题的能力。
参考文献：
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［3］罗朝晖.关于数学建模思想渗入数学分析教学的思考［J］.教育与职业，2007，7，（20）：114-115.
［4］付军，李亚新，倪宝汉，康永海.谈数学分析教学中数学建模思想的渗透［J］.松辽学刊（自然科学版），2002，11，（11）：57-59.
［5］王海军，炊昆.极限模型分析与概念教学［J］.河南财政税务高等专科学校学报，2009，8：90-91.
［6］闵啸.高等数学教学中数学模型案例运用初探［J］.嘉兴学院学报，2002，11：211-213.
［7］黄敬频.浅谈数学建模思想在数学分析教学中的渗透［J］.广西大学学报（自然科学版），2003，10，VoL28（增刊）：21-24.
基金项目：广西河池学院教改立项项目。
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