[高中生数学思维能力培养探析]逻辑思维能力测试20题
时间：2019-01-07 03:24:42 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。提高学生的数学思维能力不仅是数学教育的基本目标之一，而且是数学课程标准特别指出的基本理念。本文结合实例，探讨如何培养高中生的数学思维能力。
1.激发思维欲望，引导学生参与数学思维活动过程
一般地说，数学思维能力形成并优化于数学活动过程之中，为此，应当注意根据学生心理特点，精心设计问题情境，启发引导学生揭示已有知识经验与新学习任务之间的矛盾，引起学生的认知冲突，激发学生的思维欲望，使其主动参与数学思维活动过程。具体应当注意在学生思维活动过程中给予适当的点拔、指导、帮助。例如，在“离散型随机变量的期望”这一节的教学中，为了吸引学生注意力，激发其兴趣和求知欲望，可以从学生感兴趣的博弈问题出发，设置悬念，即创设一个“赌徒分赌金”的情境：A、B两个实力相当的赌徒分别掷骰子，各押赌注32个金币，规定谁先掷出3次“6点”就算赢。赌博进行了一段时间，A赌徒已掷出了2次“6点”，B赌徒也掷出了1次“6点”，此时发生意外，赌博中断。两人应该怎样分这64个金币呢？当学生参与到数学思维活动之后，教师可以用学生所熟悉的生活中平均价格类的问题（比如，某商场要将每千克价格分别为18元、24元、36元的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等。问：如何对混合糖果定价才合理？）为探究起点，将数学期望和学生所熟悉的平均值联系起来，并舍去具体问题的意义，抽象出一般离散型随机变量的期望概念。当学生建构了期望的数学概念后，教师可以引导学生回归最初的问题，解决如何进行赌金的分配。
2.培养并优化学生的数学思维品质
培养并优化学生的数学思维品质是培养和发展学生数学思维能力的重要突破口。不同数学思维品质反映了数学思维不同方面的特征，数学教师应善于根据教学内容和教学对象的特点，从不同侧面强化学生思维品质的培养与优化。例如，在解题教学中，可以通过“一题多变”培养并优化学生数学思维的灵活性、深刻性；通过“一题多解”，培养并优化学生数学思维的独创性；通过“一题多编”，培养并优化学生数学思维的流畅性；通过“一题多答”（即把所有的答案都找出来），培养并优化学生数学思维的全面性；通过引导学生反思解题过程、对比辨析相关问题，培养并优化学生数学思维的批判性。例如，通过解答下列三个问题：①过点A（0，1）作抛物线y2=x的切线，求切线方程；②若直线y-1=kx与抛物线y2=x相切，求切线方程；③直线L经过点A（0，1），并且与抛物线y2=x只有一个公共点，求直线L的方程，可以培养同学审视检查解题过程，学会冷静思考、排除惯性思维的意识，得到正确答案。一般地说，数学思维的深刻性品质决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性。由于数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下思维的速度问题，因此教师一方面要注意训练学生的运算速度，另一方面要注意尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握数学知识的抽象程度。为了培养学生思维的灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面对问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。为了培养并优化学生的创造性思维品质，教学中要引导学生融会贯通地学习知识，养成独立思考的习惯，使学生乐学多思善问，鼓励学生提出不同的问题，以及对问题的见解，引导学生进行积极思考和自我鉴别。较之于其它类型知识的学习，数学命题的学习更有利于培养并优化学生数学思维逻辑性和论证性品质，但这些品质的培养要与其它品质的培养与优化有效地结合起来。
3.教会学生数学思维的方法
学生学会了思维方法，发展了思维能力，就能够分析和解决各种各样的数学问题，思维就会非常活跃。在数学教学中教会学生数学思维的方法，不仅有利于培养学生的正确思维方式，而且有利于优化学生的数学思维品质。
3.1教学生学会“执果索因”，优化思维逻辑性品质。
逻辑思维以概念为思维材料，以语言为载体，每推进一步都有充分依据的思维，以抽象性为主要特征，其基本形式是概念、判断与推理。因此，所谓逻辑思维能力就是正确、合理地进行思考的能力。对于有些数学问题，由于条件和结论之间的关系比较复杂，学生如果仅仅根据既定法则和事实条件，由因导果，往往容易在中途迷失方向，而采用“执果索因”的策略，则不仅可以学会从结论逆行考虑问题，去寻觅结论成立的隐含或过渡条件，由欲知寻探需知，而且有利于优化思维的逻辑性品质。例如：如图1，设A、B分别在二面角α-PQ-β（平面角为锐角）的两个面β、α上，直线AB与面α、β所成的角分别为θ1、θ2，过点A、B分别作棱PQ的垂线AE、BF，垂足为E、F。求证：=。
可以分析如下：作AC⊥平面α于C，BD⊥平面β于D，连结BC、AD、CE、DF，则在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ABC=θ，∠BAD=θ。目标线段AE与BF分别是Rt△ACE和Rt△BDF的斜边，由线段比联想这两个三角形是否相似？这是一个有待探究的问题；如果证得△ACE∽△BDF，比例式=中的AC、BD能否用已知表示？这又是一个有待探究的问题。先考虑第一个要探究的问题：因为AE⊥PQ，所以CE⊥PQ，∠AEC是二面角α-PQ-β的平面角；同理，∠BFD也是二面角α-PQ-β的平面角，所以∠AEC=∠BFD，即Rt△AEC∽Rt△BFD.再考虑第二个要探究的问题：在Rt△ABC和Rt△ABD中，由三角函数定义有sinθ=，sinθ=。所以AC=ABsinθ，BD=ABsinθ，至此，思路已贯通，问题自然容易获解。
3.2教学生学会转换思维，优化思维灵活性品质。
在数学思维过程中学生往往由于经验、旧知等因素形成思维定势，影响问题的解决，因此，学生应当学会转换思维方式，打破经验和定势，学习从一个全新的角度理解、探索问题及其解答路径。例如：方程cosx=（）在区间（0，100π）内解的个数是多少？
该方程左边为三角式，右边为指数式，二者根本无法转换成同一种形式，因此采用常规解方程的方法无法解。但是，如果注意理解所求的问题，只是求方程在（0，100π）内解的个数是多少个，而不是求解是什么。那么，我们就可以转换思维方式，把这个方程转化为两个函数：f（x）=cosx，g（x）=（）然后，利用数形结合的方法，求出这两个函数图像在（0，100π）的交点有多少个，问题就迎刃而解了。事实上，在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像（如图2）可知:f（x）=cosx在（0，100π）区间内，每个周期与g（x）=（）有两个交点，这个函数的周期为2π，在（0，100π）内共有50个周期，交点共有2×50=100个，即方程cosx=（）在区间（0，100π）内有100个解。
学会转换思维需要与数学思维有关的几种特殊形式：①逆向思维。与由条件推知结论的思维过程相反，先给出某个结论或答案，求使之成立的各种条件。比如说，给一个浓度问题，我们列出一个方程来；反过来，给一个方程，就能编出一个浓度方面的题目。后者就属于逆向型思维。②构造思维。某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性，也常常要用反例证明其不合理性。根据要求构造例子，往往是由抽象回到具体，综合运用各种知识的思考过程。例如：试求其反函数等于自身的函数。③归纳思维。通过观察、试验，在若干个例子中提出一般规律。④开放思维。即只给出研究问题的对象或某些条件，至于由此可推知的问题或结论，由学生自己去探索。比如让学生观察y＝sinx的图像，说出它的主要性质，并逐一加以说明。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 3.3教学生学会大胆猜想、合理类比归纳，优化思维创造性品质。
猜想是对研究的问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象的思维方法，是人们根据事物的某些现象对它的本质属性、规律、发展的趋势或出现的结果作出的一种预测性判断。牛顿指出：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”在数学教学中，引导学生大胆猜想，是培养学生创造性思维能力的一条重要渠道。数学教学中（特别是解题中）进行的探索，是关于问题结论或关于解题思路、方法，以及答案形式、范围、数值的猜想，教师应当教学生学会大胆猜想，数学结论可让学生根据教师提出的启发性线索去猜测发现。解题时，教师可留有余地让学生先独立猜想、发现解题方法，归纳总结规律，让学生感受成功的愉快。例如：已知λ为非零常数，x∈R，且f（x+λ）=，问f（x）是否是周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，请说明理由。
我们可作如下思考：由于探求的是周期函数问题，容易联想到三角函数，又f（x+λ）=的结构形式极易与tan（x+）=进行类比，故可把tanx看成是f（x）的一个原型实例，且题中的λ相当于实例中的，由于周期函数tanx的周期T=π=4×，故可猜想f（x）也为周期函数，且周期为4λ。事实上，不难证明这种猜想是正确的。类比和归纳也有利于学生思维创造性品质的优化。在数学教学中，可以利用性质、公式、法则的相似进行类比，也可以利用“数”或“形”的结构或形式的相似进行类比，还可以从解决问题的方法的相似进行类比，以及从低维到高维的类比。例如，将分式与分数作类比，将相似三角形与全等三角形作类比。数学教学中可以进行归纳思维训练的内容很多。例如，在章节复习时，可创设归纳思维训练的问题情境，让学生去归纳知识结构、归纳解题方法或步骤，等等。
3.4教学生学会领悟各种数学思想方法，优化思维深刻性品质。
由于数学思想方法沟通了各种数学问题之间的内在联系，解题者借助它可以探索出所研究问题的实质及这些问题之间的相互联系，因此教学生学会领悟数学思想方法有利于训练并优化学生数学思维深刻性的品质。比如，教学生学会形数结合的思想方法，可以使学生透过形的外表揭示代数问题的内在数量特征，探讨数与形的本质联系与规律，这其实是一种由表及里的数学思考过程。一般地说，常见的数学思想方法包括：逻辑方法、模型思想、算法思想、方程思想、函数观念、坐标方法、空间观念、数形结合、化归方法、RMI原理、随机思想、极限思想。为了教学生学会领悟各种数学思想方法，教师应当注意如下几点：（1）在概念教学中要引导学生分清一些容易混淆的概念，如非负数与正数、方根与算术根、集合｛0｝与空集等，要让学生明白它们为什么容易混淆，弄清它们之间的关系。由于高度的抽象性是数学概念最主要的特征，因此，在概念教学中应当注意把抽象的概念具体化、形象化、观念化，再进一步抽象化。（2）在公式、定理、法则教学中，要让学生能完整掌握它们的条件、结论及适用范围，不犯形式主义的错误，引导学生领悟公式、定理、法则中的数学思想方法。（3）在解题教学中，应当注意引导学生剖析数学错误，挖掘有关隐含条件，选择相关典型问题并通过从条件或从结论入手对问题进行必要变化，通过题组对学生进行思维训练，引导学生善于集中思路，探寻问题本源，要引导学生总结解题要领，积累解题经验。例如，在解4x+x+2x=9这个方程时，学生往往习惯于选择先移项，然后将方程两边同时平方的方法来解，但由于涉及到解一元四次方程，不利于求解。为了克服这种思维定势，可引导学生进行深入思考，从题目特征中挖掘出变量间的内在联系：由4x+x=3x+x+x，将原方程变形为：3x+x+2x+x=9，即（x+）=9，从而使问题的解决变得简捷。
4.重视数学语言的理解和操作，培养学生数学思维表达能力
数学语言是表达数学思维的一种有力工具，教师应重视学生对数学语言的理解和操作，培养学生数学思维的表达能力。诚如斯托利亚尔所说，如果学生不理解数学表达式的意义，就“不能把非数学问题化成数学问题，他们的知识将是形式主义的、无益的”，只有理解了数学语言，才能掌握和运用数学语言进行思维。为了使学生理解数学语言，应当引导他们理解数学语言的语义，即数学语言中特有的表达式和这些表达式所指称的关系。例如，函数符号可以从以下几个方面引导学生进行意义理解：第一，理解基本含义。f（x）是以x为自变量的一个函数，表示的是一个映射或对应关系f∶:x→f（x）。如当f（x）=x-2x-3（x∈R），x=a→f（a）=a-2a-3。f（a）是函数在a处的函数值。第二，增强对“对应”的理解。f（x）表示的是括号中的对象与对应对象的一种对应关系，不管括号中的对象（自变量）取什么值，与其对应的都是在对应关系结构（如果关系是可以用数学式子表示的）中用这个值代替对象而得的值。如“x+1”对应的不是f（x）+1，而是f（x+1）=（x+1）-2（x+1）-3。第三，进一步加深对f（x）意义的理解。可以通过诸如“已知f（x+1）=x+x-3，求f（x）”等问题的思考、讨论而获得。鼓励学生在理解的基础上操作数学语言――大胆地组织、表述、交流对发展学生数学语言能力具有非常重要的作用。操作数学语言，在教学中要用“开放的、可作修改的和补充的语言”，可强调“诸如用符号语言给应用题列方程，用逻辑语言写出证明，用函数语言描述运动模型，用计算机指挥计算，等等，都是应该着重研究和特殊训练的内容”，从认知角度考虑，鼓励学生操作数学语言的重点应在解题中让他们通过尝试性的实践活动，完成数学语言的转换、抽象、变形、组织。应当说明的是，通过数学语言的转换，可以实现将一种语言表达从一个领域转换为另一个领域的语言形式，并因此沟通知识之间的联系，简化问题解决。例如，已知“x+2y=5，求x+y的最小值”，可以转译为“求直线x+2y=5上的点到原点的距离的最小值”，进一步再转换为“求原点到直线x+2y=5的距离”的语言表达形式，这既能沟通代数与解析几何的联系，又能使问题变得更简单易求。
5.加强整体性思维策略训练，促进不同思维风格互补
整体性思维倾向与分列式思维倾向是两种不同的个体思维风格。所谓整体性思维，是指注重对对象的整体把握的思维倾向，而分列式思维，则指注重把问题分解成条列状的一系列子问题，然后一步一步地加以解决的思维倾向。例如在12，181，156，121，317，244，322，54，167，823这10个数中，相邻若干个数的和可以被8整除的有几组？有分列式思维倾向的学生把各数逐一相加，再加以检验，相当繁琐。有整体性思维倾向的学生，则先用8去除各数，得到其对应的余数：4-3，4，1，-3，4，2，-2，-1，-1，则把原问题整体地转化为：在4，-3，4，1，-3，4，2，-2，-1，-1这10个数中相邻若干个数的和可以被整除的有几组？显然，问题被大大简化了。整体性思维风格和分列式思维各有其长处，在数学教学中，只有让学生形成自己思维风格的同时，兼顾到另一种思维方式，才能使他们成为思维品质较为完善的人。
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