例谈数形结合思想_例谈数形结合
时间：2019-01-05 03:34:53 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要: 本文从解析几何的三种模式,即斜率、截距、距离出发,通过具体的例子及其变式,结合具体的图形,来解决函数的求最值问题。 关键词: 数形结合思想 解析几何 求解最值问题
自17世纪大哲学家笛卡尔发明坐标系以后,代数和几何这两个在这之前独立发展的数学分支便从此有机地结合在了一起,带来了数学史上的巨大变革。从此数学发展日新月异,而数形结合的思想方法也成为了数学学科中一种非常重要的思想方法之一。下面我从数形结合思想出发,谈谈如何利用解析几何中的方法求解最值问题。
求最值问题是数学中一个非常重要的专题,其方法非常多。而解析几何中的思想也是非常重要的,其中一些概念和公式更是被广泛应用,如:斜率、截距、点与点的距离公式、点到直线的距离公式、直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系,这些都被广泛运用,而且通常是非常简单、非常具有技巧性的方法,这些解法很多时候能让学生有一种茅塞顿开、豁然开朗的感觉,能让学生感觉到数学的奥妙与博大精深,迅速提升学生对数学的学习兴趣。
一、斜率模式
解析几何中的斜率是这样定义的:当x≠x时,斜率k=。因此,对于分式的形式,视情况可以将其转化为斜率的形式。
例1:如果实数x、y满足(x-2)+y=3,求的最大值。
分析:条件中的方程在解析几何中表示圆,而=,即表示圆上的点与原点的连线的斜率。如图1,易得此斜率的最值应是该直线与圆相切时取得,易得最大值为。
如果利用数学选修教材中的圆的参数方程,即x=cosθ+2y=sinθ,就有如下变式:
变式1:求函数y=的值域。
分析:可变形为y=,也可变形为y=。
若将sinx与cosx的关系表示出来,即可得如下变式:
变式2:求函数y=的最大值。
分析:可设x=cosθ,则有y=,即转化为变式1-1,但与之相区别的是θ∈[0,π],这是后者所没有要求的。因此其几何意义就不能完全用图1来表示,而应该是个半圆。
变式2:求函数y=的值域。
分析:函数变形为y=,即表示点(sinx,sinx)与点C(-,)的连线的斜率。如图2,由于sinx∈[-1,1],可得点(sinx,sinx)是线段AB上的动点,易得经过点C的直线l、l的斜率分别为3和,可知原函数的值域为(-∞,]∪[3,+∞)。
变式3:求函数y=的值域。
分析:y=,表示点(x,x)与点(1,-1)的连线的斜率,而点(x,x)是抛物线y=x上的动点(x≠1)。如图3,直线l与l是抛物线的切线,设切点为(x,x),则由导数知,斜率为2x,则切线方程为y-x=2x(x-x)。将点(1,-1)代入,得x=1±,直线l与l的斜率即为2±2。因此原函数的值域为(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)。
注:本题也可用判别式法或者基本不等式法来解决,也很方便。
可以发现,例如y=、y=、y=这样的函数,都可以用上述的方法来求值域。
总结:形如u=(a,b,c,d是常数)都可变形为u=・,利用函数y=f(x)的图像上的点与点(-,-)连线的斜率来解决问题。
二、截距模式
设直线方程为y=kx+b,或x=ky+b′,则b和b′即分别为纵截距和横截距。
例2:若x+y=5,求2x-y的最值。
分析:设b=2x-y,则有y=2x-b。如图4,即为动直线l,由于(x,y)在圆x+y=5上,因此,直线l应与圆有公共点,因此b∈[-2,2],即得2x-y的最值。
变式1-1:求函数t=x+的值域。
分析:若令y=,原题变为:若x+y=1(y≥0),求t=x+y的值域,即转化为例2,所不同的是x+y=1(y≥0)表示的是x轴上方的半圆,很快得到结果为[-1,]。当然此题也可用三角换元的方法,也非常方便。
变式1-2:求函数f(t)=-2-的最值。
分析:令=x,=y,则x+y=4(x≥0,y≥0),且f(t)=b=-2x-y。与上题又不同的是这里是四分之一圆。方法同上,易得结果为[-2,-2]。
这是以圆作为背景的,当然也可以以椭圆作为背景:
变式2:设a、b∈R,a+2b=6,求a+b的最小值。
分析一:设t=a+b,则b=-a+t,即为动直线l,且应与椭圆a+2b=6有公共点,联立方程组消去b,利用△≥0,可得t∈[-3,3],因此a+b的最小值为-3。
分析二:令b=c,则变式2即转化为例2,即以圆为背景。
按例2的变化得下列两个变式,方法同上:
变式2-1:求函数y=x+的最小值。
变式2-2:求函数u=+。
三、距离模式
例3:函数y=+的最小值。
分析:原函数可变形为:y=+,其几何意义就是点(x,0)与两点(1,1)和(3,2)的距离之和,易得距离之和的最小值为(1,1)和(3,-2)的距离,即2。
变式3:求函数y=x+的值域。(2001年全国高中数学联赛试题)
分析:原函数变形为:y=-(-x),不妨设C:y=,C:y=-x,整理得C:(x-)-y=(y≥0),C:y=-x(x≤1或x≥2)。易知C为双曲线的x轴上方部分,本题即为求C与C对应x的点的距离差的范围。如图7,由于本题中的距离是“竖直”的,因此原函数的值域为[1,)∪[2,+∞)。
参考文献:
[1]斯理炯.高中数学竞赛专题讲座――解析几何[M].浙江大学出版社,2007.
[2]蔡小雄.更高更妙的高中数学思想与方法[M].浙江大学出版社,2009.
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