• 学前教育
  • 小学学习
  • 初中学习
  • 高中学习
  • 语文学习
  • 数学学习
  • 英语学习
  • 作文范文
  • 文科资料
  • 理科资料
  • 文档大全
  • 当前位置: 雅意学习网 > 初中学习 > 正文

    【浅析导数应用的几例误区】 高阶导数例题解析

    时间:2018-12-26 03:31:30 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      导数是新教材中增加的内容,它在研究函数的变化率,解决函数的单调性及极值(最值)等问题时能为学生提供一种有效的途径和较简便的手段,但在具体应用时,也应熟悉并理解以下几个关系,以防出错。
      
      一、需明确导数与切线斜率的关系
      
      导数的几何意义指出:函数在某点处的切线斜率即为函数在该点处的导数值。但利用该几何意义求曲线的切线方程时,要注意对切点位置的具体分析。
      1.要检验在“某点处”中的“某点”是否在曲线上。
      例1:求y=3x -4x+2过点M(0,0)的切线方程。
      错解:f′(x)=6x-4,y′| =-4,所以切线方程为y=-4x。
      分析:此题中(0,0)不在曲线上,应先设出切点坐标,再解之。
      正解:设切点坐标为A(x ,y ),
      由导数几何意义知:切线斜率为6x -4,所以6x -4= (1)
      又A在曲线上,故3x-4x +2=y (2)
      由(1)(2)联立解之得:x =± ,所以切点坐标为( , )或(- , ),所以切线方程为y=(2 -4)x或y=-(2 +4)x。
      2.要注意区分“在点处”与“过点处”求曲线方程时的区别,其中在点处的点必为切点,过点处的点不一定是切点,在解题时要注意审题,加以区别。
      例2:已知函数f(x)=x -x+2,试问:过点P(1,2)的曲线y=f(x)的切线有几条?如果是一条,写出该切线的方向向量;如果是两条,求出两直线的夹角;如果是三条,写出直线方程。
      解:设切点为P (x ,y ),
      ∵f′(x)=3x -1,∴切线斜率为f′(x )=3x-1,
      过P 的切线方程为:y-y =(3x-1)(x-x )。
      将P(1,2)代入得:2-(x-x +2)=(3x-1)(1-x )
      ∴(x -1) (2x +1)=0,
      ∴x =- 或x =1。
      ∴过P的切线有两条,切点为(- , )和(1,2),斜率为f′(- )=- ,f′(1)=2,
      ∴tanα=| |= ,∴α=arctan 。
      
      二、需明确导数与函数单调性的关系
      
      人教版数学第三册(选修1)上给出:设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在此区间内f′(x)>0,则f(x)在此区间内为增函数,如果f′(x)<0,则f(x)在此区间内为减函数。要用导数判断好函数的单调性,除掌握以上依据外,还应明确以下两点:
      1.f′(x)>0与f(x)为增函数的关系
      由上知,f′(x)>0,则f(x)为增函数,但反之不一定。如f(x)=x 在(-∞,+∞)上为增函数,但f′(x)≥0,∴f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。
      2.f′(x)≥0与f(x)为增函数的关系
      由上分析:f(x)为增函数,则一定可推出f′(x)≥0,但反之亦不成立。
      因为f′(x)≥0为f′(x)>0或f′(x)=0,两者有一成立即可,当函数f(x)在某区间内恒有f′(x)=0时,即f(x)为常数函数,此时f(x)就不具备单调性,∴f′(x)≥0为f(x)是增函数的必要不充分条件。
      例3:已知函数f(x)= -(4m-1)x +(15m -2m-7)x+2在R上为增函数,则m的取值范围为?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇。
      点评:此题在教学过程中,学生多从f′(x)>0出发,得:x -2(4m-1)x+15m -2m-7>0对x∈R恒成立,即Δ<0,∴m∈(2,4)。
      事实上,由以上两点可知,此处应f′(x)≥0,即Δ≤0,故最后m∈[2,4]。
      函数的单调性为函数的一条重要性质,我们一定要理解好以上两个关系,用导数判断好函数的单调性。
      
      三、需明确导数与极值的关系
      
      利用导数求极值可分为三步:
      1.求导数f′(x);
      2.求方程f′(x)=0的根;
      3.检验f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右两边的符号,确定极值。
      例4:导数f(x)=(x -1) +2的极值点为()
      (A)x=1?摇?摇(B)x=-1?摇?摇(C)x=-1,1或0?摇?摇(D)x=0
      点评:学生解答时较多选择了C,解答如下:
      f(x)=x -3x +3x +1,f′(x)=6x -12x +6x=6x(x -1) ,
      ∵f′(x)=0,
      ∴x =0,x =1,x =-1;
      故选择C。
      但事实上,在x =1,x =-1处,f′(x)左右两边符号未发生变化,所以1,-1不是函数f(x)的极值点,答案为D。
      所以,在这里我们需明确,函数在某处取得极值,则函数在此处导数必等于0;反之,若导数在某处值为零,则函数在该处不一定取得极值,还需进一步检验f′(x)在f′(x)=0的根的左右两边的符号变化。
      
      注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
    本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文

    推荐访问:导数 浅析 误区

    • 文档大全
    • 故事大全
    • 优美句子
    • 范文
    • 美文
    • 散文
    • 小说文章