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    一类非线性系统轨线的全局分析|非线性系统第三版pdf

    时间:2018-12-23 19:41:21 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      摘 要: 为了研究平面自治系统的轨线在全平面上的分布情况,本文通过考察有限远奇点、无限远奇点、闭轨来进行该非线性系统轨线的全局结构分析.   关键词: 奇点 闭轨 Poincare′变换
      
      分析系统
      =x(x+by+1)?勖P(x,y)=y(x+by-b)?勖Q(x,y)(b>0)(1)
      的轨线的全局结构.
      解:1.分析有限远奇点,解方程组
      x(x+by+1)=0y(x+by-b)=0
      可得有限远奇点为O(0,0),E(0,1),E(-1,0).
      对应于奇点O(0,0)的特征方程为λ+(b-1)λ-b=0,特征根λ=1,λ=-b<0,O(0,0)是鞍点.
      对应于奇点E(0,1),有
      =b+1,=0,
      =1,=b.
      特征方程为b+1-λ 01 b-λ=(b+1-λ)(b-λ)=0,特征根λ=b+1,λ=b.E(0,1)是不稳定结点.
      对应于奇点E(-1,0),有
      =-1,=-b,
      =0,=-1-b.
      特征方程为-1-λ -b0 -1-b-λ=(-1-λ)(-1-b-λ)=0,特征根λ=-1,λ=-b-1.
      E(-1,0)是稳定结点.
      2.讨论闭轨,由于x=0,y=0都是解,奇点A(0,0),A(0,1),A(-1,0)分别落在这两条直线上,故方程组(1)无闭轨线.
      3.讨论无穷远奇点.
      (�)作Poincare′变换
      u=,z=,
      将系统(1)化成
      =-u-bz=-bu-z-1(2)
      (�)求无穷远奇点并判断其类型,方程组(2)在z=0上无奇点.
      (�)在vOz平面上补充讨论,令
      v=,z=,
      (1)变为
      =(1+b)v=-v+bz-b
      (0,0)显然不是此系统的奇点.所以此系统不存在无穷远奇点.
      参考文献:
      [1]马知恩,周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京:科学出版社,2001.
      [2]张芷芬,丁同仁,黄文灶,董镇喜.微分方程定性理论[M].北京:科学出版社,1985.
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